Calcule uma raiz negativa para a equação
f(x)=x^4-3 x^3-6 x^2-2
pelos métodos: Newton-Raphson
utilize uma precisão de 10^-3 ou um máximo de 6 iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação para encontrar uma raiz negativa usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função. Para isso, vamos precisar da derivada da função e seguir uma sequência de aproximações até chegar a uma precisão de ou realizar no máximo 6 iterações.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função f'(x) = 4x^3 - 9x^2 - 12x . A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando em torno de um ponto e é essencial para o método de Newton-Raphson.

Passo 3

Vamos escolher um valor inicial . Como estamos procurando uma raiz negativa, vamos tentar um valor negativo. Vamos começar com .

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular f(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 - 6(-1)^2 - 2 = 1 + 3 - 6 - 2 = -4 e f'(-1) = 4(-1)^3 - 9(-1)^2 - 12(-1) = -4 - 9 + 12 = -1 :
x1 = -1 - -4-1 = -1 - 4 = -5
Agora, calculamos :

Passo 5

Agora, usamos f(-5) = (-5)^4 - 3(-5)^3 - 6(-5)^2 - 2 = 625 + 375 - 150 - 2 = 848 para encontrar f'(-5) = 4(-5)^3 - 9(-5)^2 - 12(-5) = -500 - 225 + 60 = -665 .
Calculamos x2 = -5 - 848-665 approx -5 + 1.275 = -3.725 e :
Calculamos :

Passo 6

Agora, usamos f(-3.725) approx (-3.725)^4 - 3(-3.725)^3 - 6(-3.725)^2 - 2 approx 191.3 + 155.8 - 83.25 - 2 approx 261.85 para encontrar f'(-3.725) approx 4(-3.725)^3 - 9(-3.725)^2 - 12(-3.725) approx -206.9 - 124.7 + 44.7 approx -286.9 .
Calculamos x3 = -3.725 - 261.85-286.9 approx -3.725 + 0.912 = -2.813 e :
Calculamos :

Passo 7

Usamos f(-2.813) approx (-2.813)^4 - 3(-2.813)^3 - 6(-2.813)^2 - 2 approx 63.0 + 75.3 - 47.7 - 2 approx 88.6 para encontrar f'(-2.813) approx 4(-2.813)^3 - 9(-2.813)^2 - 12(-2.813) approx -89.2 - 71.2 + 33.8 approx -126.6 .
Calculamos x4 = -2.813 - 88.6-126.6 approx -2.813 + 0.700 = -2.113 e :
Calculamos :

Passo 8

Usamos f(-2.113) approx (-2.113)^4 - 3(-2.113)^3 - 6(-2.113)^2 - 2 approx 19.9 + 30.0 - 26.9 - 2 approx 21.0 para encontrar f'(-2.113) approx 4(-2.113)^3 - 9(-2.113)^2 - 12(-2.113) approx -37.8 - 40.5 + 25.4 approx -53.0 .
Calculamos x5 = -2.113 - 21.0-53.0 approx -2.113 + 0.396 = -1.717 e :
Calculamos :

Passo 9

Usamos f(-1.717) approx (-1.717)^4 - 3(-1.717)^3 - 6(-1.717)^2 - 2 approx 8.7 + 12.6 - 17.7 - 2 approx 1.6 para encontrar f'(-1.717) approx 4(-1.717)^3 - 9(-1.717)^2 - 12(-1.717) approx -20.1 - 26.6 + 20.6 approx -26.1 .
Calculamos x6 = -1.717 - 1.6-26.1 approx -1.717 + 0.061 = -1.656 e :
Calculamos :

Resposta

Após 6 iterações, uma aproximação para a raiz negativa da equação pelo método de Newton-Raphson é .

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