Determine um valor aproximado para raiz5, com precisão de 10^-2 ou um máximo de 6 iterações, utilizando o: Método da Falsa Posição

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para raiz5 usando o Método da Falsa Posição. Esse método faz parte da matéria de Métodos Numéricos, que nos ajuda a encontrar raízes de funções de forma aproximada. Para resolver, precisamos definir uma função cujo zero é a raiz que queremos encontrar e seguir as etapas do método até alcançar a precisão desejada ou o número máximo de iterações.

Passo 2

Primeiro, definimos a função relacionada ao problema. Queremos encontrar raiz5, então consideramos a função f(x) = x^2 - 5. A raiz dessa função será exatamente raiz5, pois f(raiz5) = (raiz5)^2 - 5 = 0.

Passo 3

No Método da Falsa Posição, começamos escolhendo dois pontos, a e b, onde a função muda de sinal, ou seja, f(a) cdot f(b) < 0. Isso garante que existe pelo menos uma raiz entre a e b. Vamos escolher a = 2 e b = 3:
  • f(2) = 2^2 - 5 = -1
  • f(3) = 3^2 - 5 = 4
    Como f(2) cdot f(3) = -4 < 0, sabemos que a raiz está entre 2 e 3.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Falsa Posição para encontrar uma nova aproximação, c, que é dada por:
c = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a)
Substituindo os valores:
c1 = 3 - 4 cdot (3 - 2)4 - (-1) = 3 - 45 = 2.2

Passo 5

Calculamos f(c1):
f(2.2) = (2.2)^2 - 5 = 4.84 - 5 = -0.16
Como f(c1) cdot f(b) = (-0.16) cdot 4 = -0.64 < 0, a raiz está entre c1 = 2.2 e b = 3. Atualizamos a para 2.2.

Passo 6

Repetimos o processo com os novos valores de a e b:
c2 = 3 - 4 cdot (3 - 2.2)4 - (-0.16) = 3 - 4 cdot 0.84.16 approx 3 - 0.7692 = 2.2308
Calculamos f(c2):
f(2.2308) approx (2.2308)^2 - 5 approx 4.9773 - 5 = -0.0227
Como f(c2) cdot f(b) approx -0.0227 cdot 4 < 0, atualizamos a para 2.2308.

Passo 7

Continuamos com os novos valores:
c3 = 3 - 4 cdot (3 - 2.2308)4 - (-0.0227) approx 3 - 4 cdot 0.76924.0227 approx 3 - 0.7650 = 2.2350
Calculamos f(c3):
f(2.2350) approx (2.2350)^2 - 5 approx 4.9942 - 5 = -0.0058
Ainda temos f(c3) cdot f(b) approx -0.0058 cdot 4 < 0, então atualizamos a para 2.2350.

Passo 8

Mais uma iteração:
c4 = 3 - 4 cdot (3 - 2.2350)4 - (-0.0058) approx 3 - 4 cdot 0.76504.0058 approx 3 - 0.7641 = 2.2359
Calculamos f(c4):
f(2.2359) approx (2.2359)^2 - 5 approx 5.0003 - 5 = 0.0003
Agora, |f(c4)| = 0.0003 < 10^-2, ou seja, alcançamos a precisão desejada.

Resposta

Uma aproximação para raiz5 usando o Método da Falsa Posição é 2.24 com precisão de 10^-2 após 4 iterações.

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