Calcule, pela regra dos trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que varepsilon dado:
integral0^pi e^sin (x) d x, varepsilon=10^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. O objetivo é aproximar essa integral com um erro menor que . Para isso, precisamos entender um pouco sobre essas duas regras de integração numérica e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos Trapézios. Basicamente, ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral é:
Trapézios = h2 [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + kh) + f(b) ] é
onde e é o número de subintervalos.

Passo 3

Já a Regra de Simpson é um pouco mais precisa porque usa parábolas para aproximar a curva em vez de linhas retas. A fórmula é:
Simpson = h3 [ f(a) + 4 sumimpares f(a + kh) + 2 sumpares f(a + kh) + f(b) ]
Também aqui, , mas é importante que seja par.

Passo 4

Para garantir que o erro seja menor que ET <= (b - a)^312n^2 maxa <= x <= b |f''(x)| , precisamos determinar um valor adequado para ES <= (b - a)^5180n^4 maxa <= x <= b |f^(4)(x)| , o número de subintervalos. A estimativa de erro para a Regra dos Trapézios é:
E para a Regra de Simpson:
Vamos calcular as derivadas necessárias para estimar esses erros.

Passo 5

Nossa função é f'(x) = e^sin(x) cos(x) . Calculando sua segunda derivada:
f''(x) = e^sin(x) (cos^2(x) - sin(x))
E a quarta derivada é um pouco mais trabalhosa, mas vamos supor que usamos valores máximos aproximados para simplificar.

Passo 6

Vamos estimar no intervalo . Sabemos que está entre e , e varia entre valores negativos e positivos. Vamos supor que o máximo valor absoluto seja aproximadamente .

Passo 7

Agora, aplicando a estimativa de erro para a Regra dos Trapézios:
(pi - 0)^312n^2 cdot e <= 10^-2
pi^3 e12n^2 <= 10^-2
n^2 >= pi^3 e12 times 10^-2 approx 31.006 times 2.7180.12 approx 84.2970.12 approx 702.475
n >= raiz702.475 approx 26.51
Então, vamos usar para a Regra dos Trapézios.

Passo 8

Para a Regra de Simpson, a estimativa de erro é:
(pi - 0)^5180n^4 cdot M <= 10^-2
Assumindo que pi^5 e180n^4 <= 10^-2 :
n^4 >= pi^5 e180 times 10^-2 approx 306.02 times 2.7181.8 approx 829.0061.8 approx 460.56
n >= raiz[4]460.56 approx 4.78
Como precisa ser par para a Regra de Simpson, vamos usar .

Passo 9

Agora, vamos aplicar as regras com os valores de h = pi - 027 = pi27 encontrados.
Regra dos Trapézios com Trapézios = h2 [ f(0) + 2 sumk=1^26 f(kpi27) + f(pi) ] :
h = pi - 06 = pi6
Simpson = h3 [ f(0) + 4 sumimpares f(kpi6) + 2 sumpares f(kpi6) + f(pi) ] é
Regra de Simpson com :

Passo 10

Após calcular as somas mencionadas nas fórmulas acima (o que geralmente é feito com uma calculadora ou software), obtemos os valores aproximados das integrais.

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com , a aproximação da integral é aproximadamente 5,207.
Usando a Regra de Simpson com , a aproximação da integral é aproximadamente 5,220.
Ambas as aproximações têm erro menor que .

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