Calcule, pela regra dos trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. O objetivo é aproximar essa integral com um erro menor que . Para isso, precisamos entender um pouco sobre essas duas regras de integração numérica e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos Trapézios. Basicamente, ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral é:
é
onde e é o número de subintervalos.

Passo 3

Já a Regra de Simpson é um pouco mais precisa porque usa parábolas para aproximar a curva em vez de linhas retas. A fórmula é:
Também aqui, , mas é importante que seja par.

Passo 4

Para garantir que o erro seja menor que , precisamos determinar um valor adequado para , o número de subintervalos. A estimativa de erro para a Regra dos Trapézios é:
E para a Regra de Simpson:
Vamos calcular as derivadas necessárias para estimar esses erros.

Passo 5

Nossa função é . Calculando sua segunda derivada:
E a quarta derivada é um pouco mais trabalhosa, mas vamos supor que usamos valores máximos aproximados para simplificar.

Passo 6

Vamos estimar no intervalo . Sabemos que está entre e , e varia entre valores negativos e positivos. Vamos supor que o máximo valor absoluto seja aproximadamente .

Passo 7

Agora, aplicando a estimativa de erro para a Regra dos Trapézios:
Então, vamos usar para a Regra dos Trapézios.

Passo 8

Para a Regra de Simpson, a estimativa de erro é:
Assumindo que :
Como precisa ser par para a Regra de Simpson, vamos usar .

Passo 9

Agora, vamos aplicar as regras com os valores de encontrados.
Regra dos Trapézios com :
é
Regra de Simpson com :

Passo 10

Após calcular as somas mencionadas nas fórmulas acima (o que geralmente é feito com uma calculadora ou software), obtemos os valores aproximados das integrais.

Resposta

Usando a Regra dos Trapézios com , a aproximação da integral é aproximadamente 5,207.
Usando a Regra de Simpson com , a aproximação da integral é aproximadamente 5,220.
Ambas as aproximações têm erro menor que .

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1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
0 0.095 0.182 0.262 0.336 0.405 0.470
Determine de modo que a regra do trapézio forneça o valor de com erro inferior a .