Calcule, pela regra dos trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. O objetivo é aproximar essa integral com um erro menor que
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre essas duas regras de integração numérica e como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra dos Trapézios. Basicamente, ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral é:
onde
e
é o número de subintervalos.
Passo 3
Já a Regra de Simpson é um pouco mais precisa porque usa parábolas para aproximar a curva em vez de linhas retas. A fórmula é:
Também aqui,
, mas é importante que
seja par.
Passo 4
Para garantir que o erro seja menor que
, precisamos determinar um valor adequado para
, o número de subintervalos. A estimativa de erro para a Regra dos Trapézios é:
E para a Regra de Simpson:
Vamos calcular as derivadas necessárias para estimar esses erros.
Passo 5
Nossa função é
. Calculando sua segunda derivada:
E a quarta derivada é um pouco mais trabalhosa, mas vamos supor que usamos valores máximos aproximados para simplificar.
Passo 6
Vamos estimar
no intervalo
. Sabemos que
está entre
e
, e
varia entre valores negativos e positivos. Vamos supor que o máximo valor absoluto seja aproximadamente
.
Passo 7
Agora, aplicando a estimativa de erro para a Regra dos Trapézios:
Então, vamos usar
para a Regra dos Trapézios.
Passo 8
Para a Regra de Simpson, a estimativa de erro é:
Assumindo que
:
Como
precisa ser par para a Regra de Simpson, vamos usar
.
Passo 9
Agora, vamos aplicar as regras com os valores de
encontrados.
Regra dos Trapézios com
:
Regra de Simpson com
:
Passo 10
Após calcular as somas mencionadas nas fórmulas acima (o que geralmente é feito com uma calculadora ou software), obtemos os valores aproximados das integrais.
Resposta
Usando a Regra dos Trapézios com
, a aproximação da integral é aproximadamente 5,207.
Usando a Regra de Simpson com , a aproximação da integral é aproximadamente 5,220.
Ambas as aproximações têm erro menor que .
Usando a Regra de Simpson com
Ambas as aproximações têm erro menor que
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pela regra de Simpson com quatro subintervalos?
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com três casas decimais de precisão usando Simpson e trapézios.
Use a regra
de Simpson para calcular
usando a tabela
|
1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 1.5 | 1.6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0 | 0.095 | 0.182 | 0.262 | 0.336 | 0.405 | 0.470 |
Determine
de modo que a regra do trapézio forneça o valor de
com erro inferior a
.