Determine de modo que a regra do trapézio forneça o valor de com erro inferior a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor de de forma que a regra do trapézio calcule a integral com um erro menor que . Vamos precisar usar conceitos de análise numérica, especificamente sobre a regra do trapézio e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a integral de uma função dividindo o intervalo de integração em pequenos subintervalos de largura e aproximando a área sob a curva por trapézios. A fórmula geral da regra do trapézio para subintervalos é:
onde .

Passo 3

Agora, precisamos entender como calcular o erro dessa aproximação. O erro da regra do trapézio é dado por:
Como queremos um erro menor que , podemos rearranjar a fórmula para encontrar .

Passo 4

Vamos identificar os valores para nosso problema:
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de , ou seja, .

Passo 5

Calculando a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:

Passo 6

Para encontrar o máximo de no intervalo [0,1], observamos que:
Analisando no intervalo [0,1], o valor máximo ocorre em :

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Queremos que , então:

Passo 8

Resolvendo para :
Então,
Como deve ser inteiro, arredondamos para cima:

Passo 9

Finalmente, lembrando que , temos:

Resposta

O valor de necessário para que a regra do trapézio tenha um erro inferior a é aproximadamente .

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