Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de integral0^1 e^-x^2 d x com erro inferior a 0.5 times 10^-6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor de de forma que a regra do trapézio calcule a integral com um erro menor que . Vamos precisar usar conceitos de análise numérica, especificamente sobre a regra do trapézio e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a integral de uma função dividindo o intervalo de integração em pequenos subintervalos de largura integrala^b f(x) ,dx approx h2 [f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + dots + 2f(b-h) + f(b)] e aproximando a área sob a curva por trapézios. A fórmula geral da regra do trapézio para subintervalos é:
onde .

Passo 3

Agora, precisamos entender como calcular o erro dessa aproximação. O erro da regra do trapézio é dado por:
E <= (b - a)^312 n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Como queremos um erro menor que , podemos rearranjar a fórmula para encontrar .

Passo 4

Vamos identificar os valores para nosso problema:
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de , ou seja, .

Passo 5

Calculando a primeira derivada:
f'(x) = ddx e^-x^2 = -2x e^-x^2
Agora, a segunda derivada:
f''(x) = ddx (-2x e^-x^2) = -2 e^-x^2 + 4x^2 e^-x^2 = (4x^2 - 2) e^-x^2

Passo 6

Para encontrar o máximo de |f''(x)| = |4x^2 - 2| e^-x^2 no intervalo [0,1], observamos que:
|f''(1)| = |4(1)^2 - 2| e^-1 = 2 e^-1 approx 0,7358
Analisando no intervalo [0,1], o valor máximo ocorre em :

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
E <= (1 - 0)^312 n^2 cdot 2 e^-1 = 16 n^2 e^-1
Queremos que e^-16 n^2 < 0,5 times 10^-6 , então:

Passo 8

Resolvendo para n^2 > e^-16 times 0,5 times 10^-6 = e^-13 times 10^-6 approx 0,36790,000003 approx 122,633 :
n > raiz122,633 approx 11,07
Então,
n = 12
Como deve ser inteiro, arredondamos para cima:

Passo 9

Finalmente, lembrando que h = 1 - 012 = 112 approx 0,0833 , temos:

Resposta

O valor de necessário para que a regra do trapézio tenha um erro inferior a é aproximadamente .

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