Determine
de modo que a regra do trapézio forneça o valor de
com erro inferior a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor de
de forma que a regra do trapézio calcule a integral
com um erro menor que
. Vamos precisar usar conceitos de análise numérica, especificamente sobre a regra do trapézio e como estimar o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a integral de uma função dividindo o intervalo de integração em pequenos subintervalos de largura
e aproximando a área sob a curva por trapézios. A fórmula geral da regra do trapézio para
subintervalos é:
onde
.
Passo 3
Agora, precisamos entender como calcular o erro dessa aproximação. O erro da regra do trapézio é dado por:
Como queremos um erro menor que
, podemos rearranjar a fórmula para encontrar
.
Passo 4
Vamos identificar os valores para nosso problema:
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de
, ou seja,
.
Passo 5
Calculando a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 6
Para encontrar o máximo de
no intervalo [0,1], observamos que:
Analisando no intervalo [0,1], o valor máximo ocorre em
:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Queremos que
, então:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então,
Como
deve ser inteiro, arredondamos para cima:
Passo 9
Finalmente, lembrando que
, temos:
Resposta
O valor de
necessário para que a regra do trapézio tenha um erro inferior a
é aproximadamente
.