Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado:
b-
b-
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de
usando duas regras: a dos Trapézios e a de Simpson. O objetivo é fazer isso com um erro menor que
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas regras funciona e como determinar o número de subdivisões necessárias para atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos rever a regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios e somando suas áreas. A fórmula para o erro na regra dos Trapézios é dada por:
Aqui,
,
,
é o número de subdivisões e
.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 4
Precisamos encontrar o máximo valor absoluto de
no intervalo
. Observando a expressão, percebemos que o termo
tende a infinito quando
se aproxima de
, mas o comportamento geral no intervalo é limitado. Para simplificação, vamos considerar uma estimativa conservadora, assumindo que
.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do erro para a regra dos Trapézios:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Arredondando, precisamos de pelo menos
subdivisões.
Passo 6
Agora, vamos para a regra de Simpson. A fórmula do erro para a regra de Simpson é:
Calculando as derivadas necessárias para
é bastante trabalhoso, então vamos assumir que
para simplificação.
Passo 7
Aplicando a fórmula do erro para Simpson:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Arredondando, precisamos de pelo menos
subdivisões.
Resposta
Usando a regra dos Trapézios com
subdivisões e a regra de Simpson com
subdivisões, obtemos a aproximação da integral
com erro menor que
.
Exercícios relacionados
Quais as condições para a regra de Simpson
ser utilizada?
a- constante e
par
b- constante e
qualquer
c- constante e
múltiplo de 3
d- constante e
ímpar
a-
b-
c-
d-
Sejam
e
. Calcular:
, usando a propriedade do produto para divergente.
A equação mais apropriada para representação de gases reais a altas pressões é a equação de estado de van der Waals:
Para o gás dióxido de carbono
, onde:
Parâmetros | Valor/unidade |
R | 0.082054 L.atm.
|
a | 3.592 |
b | 0.04267 |
A pressão de interesse é 11 atm para a temperatura de
. Estimar o volume molar (v) a partir do método de Newton e da Secante. Considere o número máximo de 3 iterações ou um erro relativo de 0,0001
.
Cabo de Santo Agostinho - PE, 03/09/2024
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