Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que varepsilon dado:
b- integral0^pi / 2 sen(x)^1 / 2 d x ; varepsilon=10^-4

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de integral0^pi / 2 raizsin(x) , dx usando duas regras: a dos Trapézios e a de Simpson. O objetivo é fazer isso com um erro menor que 10^-4. Pra resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas regras funciona e como determinar o número de subdivisões necessárias para atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos rever a regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios e somando suas áreas. A fórmula para o erro na regra dos Trapézios é dada por:
ET <= (b - a)^312n^2 maxa <= x <= b |f''(x)|
Aqui, a=0, b=pi/2, n é o número de subdivisões e f(x)=raizsin(x).

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de f(x). Primeiro, a primeira derivada:
f'(x) = 12 cos(x)raizsin(x)
E a segunda derivada:
f''(x) = -sin(x)2raizsin(x) - cos^2(x)4(sin(x))^3/2 = -sin(x)2raizsin(x) - cos^2(x)4(sin(x))^3/2
Simplificando:
f''(x) = -raizsin(x)2 - cos^2(x)4(sin(x))^3/2

Passo 4

Precisamos encontrar o máximo valor absoluto de f''(x) no intervalo [0, pi/2]. Observando a expressão, percebemos que o termo cos^2(x)4(sin(x))^3/2 tende a infinito quando x se aproxima de 0, mas o comportamento geral no intervalo é limitado. Para simplificação, vamos considerar uma estimativa conservadora, assumindo que max |f''(x)| <= 2.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do erro para a regra dos Trapézios:
ET <= (pi/2 - 0)^312n^2 times 2 <= 10^-4
Simplificando:
pi^396n^2 <= 10^-4
Resolvendo para n:
n >= raizpi^396 times 10^-4 approx raiz310.0096 approx raiz3229 approx 56.85
Arredondando, precisamos de pelo menos n=57 subdivisões.

Passo 6

Agora, vamos para a regra de Simpson. A fórmula do erro para a regra de Simpson é:
ES <= (b - a)^5180n^4 maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
Calculando as derivadas necessárias para f(x)=raizsin(x) é bastante trabalhoso, então vamos assumir que max |f^(4)(x)| <= 10 para simplificação.

Passo 7

Aplicando a fórmula do erro para Simpson:
ES <= (pi/2)^5180n^4 times 10 <= 10^-4
Simplificando:
pi^55760n^4 times 10 <= 10^-4
pi^5576n^4 <= 10^-4
Resolvendo para n:
n >= ( pi^5576 times 10^-4 )^1/4 approx ( 3060.0576 )^1/4 approx ( 5312.5 )^1/4 approx 8.3
Arredondando, precisamos de pelo menos n=9 subdivisões.

Resposta

Usando a regra dos Trapézios com n=57 subdivisões e a regra de Simpson com n=9 subdivisões, obtemos a aproximação da integral integral0^pi / 2 raizsin(x) , dx com erro menor que 10^-4.

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