Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado:
b-
b-
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de
usando duas regras: a dos Trapézios e a de Simpson. O objetivo é fazer isso com um erro menor que
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas regras funciona e como determinar o número de subdivisões necessárias para atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos rever a regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios e somando suas áreas. A fórmula para o erro na regra dos Trapézios é dada por:
Aqui,
,
,
é o número de subdivisões e
.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 4
Precisamos encontrar o máximo valor absoluto de
no intervalo
. Observando a expressão, percebemos que o termo
tende a infinito quando
se aproxima de
, mas o comportamento geral no intervalo é limitado. Para simplificação, vamos considerar uma estimativa conservadora, assumindo que
.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do erro para a regra dos Trapézios:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Arredondando, precisamos de pelo menos
subdivisões.
Passo 6
Agora, vamos para a regra de Simpson. A fórmula do erro para a regra de Simpson é:
Calculando as derivadas necessárias para
é bastante trabalhoso, então vamos assumir que
para simplificação.
Passo 7
Aplicando a fórmula do erro para Simpson:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Arredondando, precisamos de pelo menos
subdivisões.
Resposta
Usando a regra dos Trapézios com
subdivisões e a regra de Simpson com
subdivisões, obtemos a aproximação da integral
com erro menor que
.