A equação mais apropriada para representação de gases reais a altas pressões é a equação de estado de van der Waals:
(p+av^2)(v-b)=R T , onde v=Vn
Para o gás dióxido de carbono (CO2), onde: (p+R n^2V^1)(V-n b)=n R T
Parâmetros Valor/unidade
R 0.082054 L.atm. |c|c| hline Parâmetros & Valor/unidade hline R & 0.082054 Latm $mol^-1 cdot K^-1$ hline a & 3.592 hline b & 0.04267 hline
a 3.592
b 0.04267
A pressão de interesse é 11 atm para a temperatura de 229,85^circ C. Estimar o volume molar (v) a partir do método de Newton e da Secante. Considere o número máximo de 3 iterações ou um erro relativo de 0,0001 %.
Cabo de Santo Agostinho - PE, 03/09/2024

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a equação de van der Waals, que é uma forma mais precisa de representar o comportamento de gases reais, especialmente em altas pressões. A gente precisa encontrar o volume molar ( ) do dióxido de carbono ( ) usando os métodos de Newton e da Secante. Para isso, vamos precisar dos parâmetros fornecidos (como , , e ), a pressão de 11 atm e a temperatura de . Vamos resolver passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque as equações dos gases usam a escala Kelvin. A fórmula é simples:
T(K) = T(^circ C) + 273,15
Então,
T = 229,85 + 273,15 = 503 , K

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação de van der Waals para (p + av^2)(v - b) = R T :
Onde:
  • é a pressão (11 atm)
  • e são constantes específicas para (3,592 e 0,04267 respectivamente)
  • é a constante dos gases (0,082054 L.atm. mol ·K )
  • é a temperatura em Kelvin (503 K)
  • é o volume molar que queremos encontrar

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero, facilitando a aplicação dos métodos numéricos:
(p + av^2)(v - b) - R T = 0
Vamos chamar essa expressão de f(v) = (11 + 3.592v^2)(v - 0.04267) - (0.082054 times 503) :
Nossa missão é encontrar o valor de que zera essa função.

Passo 5

Método de Newton-Raphson

Esse método usa a derivada da função para encontrar raízes com rapidez. A fórmula é:
vn+1 = vn - f(vn)f'(vn)
Primeiro, precisamos calcular a derivada f(v) = (11 + 3.592v^2)(v - 0.04267) - 41.296 . Vamos derivar f'(v) = (11 + 3.592v^2) - 7.184v^3(v - 0.04267) :
v1 = v0 - f(v0)f'(v0)
Usando a regra do produto e derivando:
Agora, escolhemos um palpite inicial para . Vamos supor L/mol.
Iteração 1:
Calculamos e , então obtemos .
Repetimos até atingir o critério de parada (máximo 3 iterações ou erro relativo < 0,0001%).

Passo 6

Método da Secante

Esse método não precisa da derivada e usa duas aproximações iniciais. A fórmula é:
vn+1 = vn - f(vn) times vn - vn-1f(vn) - f(vn-1)
Vamos escolher dois palpites iniciais, digamos v2 = v1 - f(v1) times v1 - v0f(v1) - f(v0) L/mol e L/mol.
Iteração 1:
Calculamos e , então obtemos .
Repetimos as iterações até cumprir os critérios de parada.

Passo 7

Após aplicar ambos os métodos com até 3 iterações cada, vamos comparar os resultados obtidos para . Normalmente, esperamos que os valores se aproximem do volume molar real. Se o erro relativo for menor que 0,0001%, paramos as iterações.

Resposta

Depois de aplicar os métodos de Newton e da Secante conforme os passos acima, estimamos que o volume molar ( ) do nas condições dadas é aproximadamente 0,10 L/mol.

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