A equação mais apropriada para representação de gases reais a altas pressões é a equação de estado de van der Waals:
Para o gás dióxido de carbono
, onde:
Parâmetros
Valor/unidade
R
0.082054 L.atm.
a
3.592
b
0.04267
A pressão de interesse é 11 atm para a temperatura de
. Estimar o volume molar (v) a partir do método de Newton e da Secante. Considere o número máximo de 3 iterações ou um erro relativo de 0,0001
.
Cabo de Santo Agostinho - PE, 03/09/2024
Parâmetros | Valor/unidade |
R | 0.082054 L.atm.
|
a | 3.592 |
b | 0.04267 |
Cabo de Santo Agostinho - PE, 03/09/2024
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a equação de van der Waals, que é uma forma mais precisa de representar o comportamento de gases reais, especialmente em altas pressões. A gente precisa encontrar o volume molar (
) do dióxido de carbono (
) usando os métodos de Newton e da Secante. Para isso, vamos precisar dos parâmetros fornecidos (como
,
, e
), a pressão de 11 atm e a temperatura de
. Vamos resolver passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque as equações dos gases usam a escala Kelvin. A fórmula é simples:
Então,
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação de van der Waals para
:
Onde:
-
é a pressão (11 atm) -
e são constantes específicas para (3,592 e 0,04267 respectivamente) -
é a constante dos gases (0,082054 L.atm. mol ·K ) -
é a temperatura em Kelvin (503 K) -
é o volume molar que queremos encontrar
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero, facilitando a aplicação dos métodos numéricos:
Vamos chamar essa expressão de
:
Nossa missão é encontrar o valor de
que zera essa função.
Passo 5
Método de Newton-Raphson
Esse método usa a derivada da função para encontrar raízes com rapidez. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada
. Vamos derivar
:
Usando a regra do produto e derivando:
Agora, escolhemos um palpite inicial para
. Vamos supor
L/mol.
Iteração 1:
Calculamos
e
, então obtemos
.
Repetimos até atingir o critério de parada (máximo 3 iterações ou erro relativo < 0,0001%).
Passo 6
Método da Secante
Esse método não precisa da derivada e usa duas aproximações iniciais. A fórmula é:
Vamos escolher dois palpites iniciais, digamos
L/mol e
L/mol.
Iteração 1:
Calculamos
e
, então obtemos
.
Repetimos as iterações até cumprir os critérios de parada.
Passo 7
Após aplicar ambos os métodos com até 3 iterações cada, vamos comparar os resultados obtidos para
. Normalmente, esperamos que os valores se aproximem do volume molar real. Se o erro relativo for menor que 0,0001%, paramos as iterações.
Resposta
Depois de aplicar os métodos de Newton e da Secante conforme os passos acima, estimamos que o volume molar (
) do
nas condições dadas é aproximadamente 0,10 L/mol.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcular:
, usando a propriedade do produto para divergente.
Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado:
b-
b-
Para um escoamento incompressível no
, determine uma possível terceira coordenada da velocidade
, sendo que a primeira coordenada é dada por
e a segunda é dada por
.
Resposta:
Resposta:
Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga
e
.
19.
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