A equação mais apropriada para representação de gases reais a altas pressões é a equação de estado de van der Waals:
Para o gás dióxido de carbono , onde:
Parâmetros Valor/unidade
R 0.082054 L.atm.
a 3.592
b 0.04267
A pressão de interesse é 11 atm para a temperatura de . Estimar o volume molar (v) a partir do método de Newton e da Secante. Considere o número máximo de 3 iterações ou um erro relativo de 0,0001 .
Cabo de Santo Agostinho - PE, 03/09/2024

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a equação de van der Waals, que é uma forma mais precisa de representar o comportamento de gases reais, especialmente em altas pressões. A gente precisa encontrar o volume molar ( ) do dióxido de carbono ( ) usando os métodos de Newton e da Secante. Para isso, vamos precisar dos parâmetros fornecidos (como , , e ), a pressão de 11 atm e a temperatura de . Vamos resolver passo a passo, explicando cada parte para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque as equações dos gases usam a escala Kelvin. A fórmula é simples:
Então,

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação de van der Waals para :
Onde:
  • é a pressão (11 atm)
  • e são constantes específicas para (3,592 e 0,04267 respectivamente)
  • é a constante dos gases (0,082054 L.atm. mol ·K )
  • é a temperatura em Kelvin (503 K)
  • é o volume molar que queremos encontrar

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para deixá-la igual a zero, facilitando a aplicação dos métodos numéricos:
Vamos chamar essa expressão de :
Nossa missão é encontrar o valor de que zera essa função.

Passo 5

Método de Newton-Raphson

Esse método usa a derivada da função para encontrar raízes com rapidez. A fórmula é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada . Vamos derivar :
Usando a regra do produto e derivando:
Agora, escolhemos um palpite inicial para . Vamos supor L/mol.
Iteração 1:
Calculamos e , então obtemos .
Repetimos até atingir o critério de parada (máximo 3 iterações ou erro relativo < 0,0001%).

Passo 6

Método da Secante

Esse método não precisa da derivada e usa duas aproximações iniciais. A fórmula é:
Vamos escolher dois palpites iniciais, digamos L/mol e L/mol.
Iteração 1:
Calculamos e , então obtemos .
Repetimos as iterações até cumprir os critérios de parada.

Passo 7

Após aplicar ambos os métodos com até 3 iterações cada, vamos comparar os resultados obtidos para . Normalmente, esperamos que os valores se aproximem do volume molar real. Se o erro relativo for menor que 0,0001%, paramos as iterações.

Resposta

Depois de aplicar os métodos de Newton e da Secante conforme os passos acima, estimamos que o volume molar ( ) do nas condições dadas é aproximadamente 0,10 L/mol.

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcular: , usando a propriedade do produto para divergente.
Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que dado:
b-
Para um escoamento incompressível no , determine uma possível terceira coordenada da velocidade , sendo que a primeira coordenada é dada por e a segunda é dada por .
Resposta:
Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga e .
19.