Sejam e . Calcular: , usando a propriedade do produto para divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem duas funções: e . Precisamos calcular a divergente de , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do produto para divergente, que é uma ferramenta importante no cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da divergente de um produto de uma função escalar por um vetor . A regra do produto diz que:
Aqui, é o gradiente de , e é a divergente de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de , ou seja, . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a , e :
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto . Isso significa que vamos multiplicar componente a componente e somar:
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a divergente de , . A divergente é a soma das derivadas parciais das componentes de :
Calculando cada derivada:
ã
ã
Então,

Passo 6

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores:
Simplificando o último termo:
Então,
Somando os termos semelhantes:
Então,

Resposta

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