Sejam
e
. Calcular:
, usando a propriedade do produto para divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem duas funções:
e
. Precisamos calcular a divergente de
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a regra do produto para divergente, que é uma ferramenta importante no cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da divergente de um produto de uma função escalar
por um vetor
. A regra do produto diz que:
Aqui,
é o gradiente de
, e
é a divergente de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
, ou seja,
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto
. Isso significa que vamos multiplicar componente a componente e somar:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a divergente de
,
. A divergente é a soma das derivadas parciais das componentes de
:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores:
Simplificando o último termo:
Então,
Somando os termos semelhantes:
Então,