Sejam f(x, y, z)=2 x^3 y z e v(x, y, z)=x^3 i+x z j+sin x k. Calcular: div(f v), usando a propriedade do produto para divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem duas funções: e . Precisamos calcular a divergente de , ou seja, . Para isso, vamos usar a regra do produto para divergente, que é uma ferramenta importante no cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da divergente de um produto de uma função escalar div(f v) = nabla f cdot v + f div v por um vetor . A regra do produto diz que:
Aqui, é o gradiente de , e é a divergente de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , ou seja, partial fpartial x = 6x^2 y z . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial y = 2x^3 z em relação a partial fpartial z = 2x^3 y , nabla f = 6x^2 y z , i + 2x^3 z , j + 2x^3 y , k e :
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto nabla f cdot v = (6x^2 y z)(x^3) + (2x^3 z)(x z) + (2x^3 y)(sin x) . Isso significa que vamos multiplicar componente a componente e somar:
6x^2 y z cdot x^3 = 6x^5 y z
Simplificando cada termo:
2x^3 z cdot x z = 2x^4 z^2
2x^3 y cdot sin x = 2x^3 y sin x
nabla f cdot v = 6x^5 y z + 2x^4 z^2 + 2x^3 y sin x
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a divergente de div v = partialpartial x(x^3) + partialpartial y(x z) + partialpartial z(sin x) , partialpartial x(x^3) = 3x^2 . A divergente é a soma das derivadas parciais das componentes de partialpartial y(x z) = 0 (porque não tem y) :
partialpartial z(sin x) = 0 (porque não tem z)
Calculando cada derivada:
div v = 3x^2
ã
ã
Então,

Passo 6

Agora que temos div(f v) = nabla f cdot v + f div v e div(f v) = 6x^5 y z + 2x^4 z^2 + 2x^3 y sin x + 2x^3 y z cdot 3x^2 , podemos aplicar a regra do produto:
2x^3 y z cdot 3x^2 = 6x^5 y z
Substituindo os valores:
div(f v) = 6x^5 y z + 2x^4 z^2 + 2x^3 y sin x + 6x^5 y z
Simplificando o último termo:
6x^5 y z + 6x^5 y z = 12x^5 y z
Então,
div(f v) = 12x^5 y z + 2x^4 z^2 + 2x^3 y sin x
Somando os termos semelhantes:
Então,

Resposta

div(f v) = 12x^5 y z + 2x^4 z^2 + 2x^3 y sin x

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