Calcule a seguinte integral por C.Cil e por CC: ; em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral tripla sobre a região , que está definida por:
Vamos usar duas abordagens para resolver: coordenadas cartesianas (CC) e coordenadas cilíndricas (C.Cil). Primeiro, vamos entender os limites de integração e depois aplicar as duas maneiras de calcular a integral.

Passo 2

Resolução pela Coordenada Cartesiana (CC):
Aqui, vamos manter as integrais nas três dimensões: , e .
  1. Identificar os limites de integração:
    • varia de a .
    • Para cada , varia de a .
    • Para cada e , varia de a .
  2. Montar a integral tripla:
  3. Integrar em relação a :
    A integral de em relação a de a é:
  4. Integrar em relação a :
    Agora, temos:
  5. Integrar em relação a :
    Por fim:
    Calculando:

Passo 3

Resolução pelas Coordenadas Cilíndricas (C.Cil):
Nas coordenadas cilíndricas, usamos onde:
  1. Identificar os limites de integração:
    • vai de a , então .
    • vai de a , que significa .
    • vai de a .
    Observando a região, percebemos que varia de a (primeiro quadrante) para garantir e .
  2. Definir os limites de :
    De e , deduzimos que varia de a .
  3. Montar a integral tripla:
    Lembrando que , e :
  4. Integrar em relação a :
  5. Integrar em relação a :
  6. Integrar em relação a :
    Podemos usar a identidade :

Resposta

A integral tripla avaliada sobre a região é igual a 4.

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R:
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Limitado pelo paraboloide e pelo plano
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