Calcule a seguinte integral por C.Cil e por CC: integral duplaE 2 x d V; em que
E=(x, y, z) ; 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral tripla integral triplaE 2x , dV sobre a região E, que está definida por:
E = (x, y, z) ; ; ;0 <= y <= 2, 0 <= x <= raiz4 - y^2, 0 <= z <= y
Vamos usar duas abordagens para resolver: coordenadas cartesianas (CC) e coordenadas cilíndricas (C.Cil). Primeiro, vamos entender os limites de integração e depois aplicar as duas maneiras de calcular a integral.

Passo 2

Resolução pela Coordenada Cartesiana (CC):
Aqui, vamos manter as integrais nas três dimensões: x, y e z.
  1. Identificar os limites de integração:
    • y varia de 0 a 2.
    • Para cada y, x varia de 0 a raiz4 - y^2.
    • Para cada x e y, z varia de 0 a y.
  2. Montar a integral tripla:
    integral triplaE 2x , dV = integral0^2 integral0^raiz4 - y^2 integral0^y 2x , dz , dx , dy
  3. Integrar em relação a z:
    A integral de 2x em relação a z de 0 a y é:
    integral0^y 2x , dz = 2x cdot z g|0^y = 2x y
  4. Integrar em relação a x:
    Agora, temos:
    integral0^raiz4 - y^2 2x y , dx = 2y cdot ( x^22 ) g|0^raiz4 - y^2 = 2y cdot ( 4 - y^22 ) = y (4 - y^2)
  5. Integrar em relação a y:
    Por fim:
    integral0^2 y (4 - y^2) , dy = integral0^2 (4y - y^3) , dy = 2y^2 - y^44 g|0^2
    Calculando:
    2(2)^2 - (2)^44 = 8 - 4 = 4

Passo 3

Resolução pelas Coordenadas Cilíndricas (C.Cil):
Nas coordenadas cilíndricas, usamos (r, theta, z) onde:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  1. Identificar os limites de integração:
    • y vai de 0 a 2, então r sintheta <= 2.
    • x vai de 0 a raiz4 - y^2, que significa r costheta <= raiz4 - r^2 sin^2theta.
    • z vai de 0 a y = r sintheta.
    Observando a região, percebemos que theta varia de 0 a pi2 (primeiro quadrante) para garantir x >= 0 e y >= 0.
  2. Definir os limites de r:
    De r sintheta <= 2 e r costheta <= raiz4 - r^2 sin^2theta, deduzimos que r varia de 0 a 2.
  3. Montar a integral tripla:
    Lembrando que dV = r , dr , dtheta , dz, e 2x = 2r costheta:
    integral triplaE 2x , dV = integral0^pi2 integral0^2 integral0^r sintheta 2r costheta cdot r , dz , dr , dtheta
  4. Integrar em relação a z:
    integral0^r sintheta 2r^2 costheta , dz = 2r^2 costheta cdot z g|0^r sintheta = 2r^3 costheta sintheta
  5. Integrar em relação a r:
    integral0^2 2r^3 costheta sintheta , dr = 2 costheta sintheta cdot r^44 g|0^2 = 2 costheta sintheta cdot 4 = 8 costheta sintheta
  6. Integrar em relação a theta:
    integral0^pi2 8 costheta sintheta , dtheta
    Podemos usar a identidade sin(2theta) = 2 sintheta costheta:
    8 cdot 12 integral0^pi2 sin(2theta) , dtheta = 4 cdot ( -cos(2theta)2 ) g|0^pi2 = 4 cdot ( 12 - (-12) ) = 4 cdot 1 = 4

Resposta

A integral tripla integral triplaE 2x , dV avaliada sobre a região E é igual a 4.

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