Calcule a seguinte integral por C.Cil e por CC: ; em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral tripla sobre a região , que está definida por:
Vamos usar duas abordagens para resolver: coordenadas cartesianas (CC) e coordenadas cilíndricas (C.Cil). Primeiro, vamos entender os limites de integração e depois aplicar as duas maneiras de calcular a integral.
Passo 2
Resolução pela Coordenada Cartesiana (CC):
Aqui, vamos manter as integrais nas três dimensões: , e .
Identificar os limites de integração:
varia de a .
Para cada , varia de a .
Para cada e , varia de a .
Montar a integral tripla:
Integrar em relação a :
A integral de em relação a de a é:
Integrar em relação a :
Agora, temos:
Integrar em relação a :
Por fim:
Calculando:
Passo 3
Resolução pelas Coordenadas Cilíndricas (C.Cil):
Nas coordenadas cilíndricas, usamos onde:
Identificar os limites de integração:
vai de a , então .
vai de a , que significa .
vai de a .
Observando a região, percebemos que varia de a (primeiro quadrante) para garantir e .
Definir os limites de :
De e , deduzimos que varia de a .
Montar a integral tripla:
Lembrando que , e :
Integrar em relação a :
Integrar em relação a :
Integrar em relação a :
Podemos usar a identidade :
Resposta
A integral tripla avaliada sobre a região é igual a 4.