Qual a massa de uma bola de raio a, cuja densidade em qualquer ponto é proporcional, da ordem de k >0, à distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Expresse a integral em CC.
R: k pi cdot a^4 / 2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma bola com raio , e a densidade em qualquer ponto dessa bola depende da distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Essa dependência é proporcional a uma constante positiva . Nosso objetivo é calcular a massa dessa bola usando integração em coordenadas cartesianas (CC).

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como a densidade varia dentro da bola. A densidade rho(x, y, z) = k cdot d em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto ao plano. Então podemos escrever:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Vamos escolher o plano de referência. Como o plano passa pela origem, podemos simplificar escolhendo, por exemplo, o plano rho(x, y, z) = k cdot |z| . Assim, a distância de um ponto a esse plano é simplesmente . Portanto, a densidade fica:
Como estamos lidando com uma esfera simétrica em relação ao plano , podemos considerar apenas e depois multiplicar por 2.

Passo 4

Para calcular a massa, vamos integrar a densidade sobre todo o volume da esfera. A massa M = integralV rho(x, y, z) , dV é dada por:
Em coordenadas cartesianas, o elemento de volume é .

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. A esfera de raio M = 2k integral-a^a integral-raiza^2 - x^2^raiza^2 - x^2 integral0^raiza^2 - x^2 - y^2 z , dz , dy , dx tem a equação . Para facilitar, vamos integrar primeiro em , depois em , e por fim em :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integral0^raiza^2 - x^2 - y^2 z , dz = z^22 |0^raiza^2 - x^2 - y^2 = a^2 - x^2 - y^22 :

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
M = 2k integral-a^a integral-raiza^2 - x^2^raiza^2 - x^2 a^2 - x^2 - y^22 , dy , dx
Podemos simplificar:
M = k integral-a^a integral-raiza^2 - x^2^raiza^2 - x^2 (a^2 - x^2 - y^2) , dy , dx

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em integral-raiza^2 - x^2^raiza^2 - x^2 (a^2 - x^2 - y^2) , dy = 2 integral0^raiza^2 - x^2 (a^2 - x^2 - y^2) , dy :
= 2 [ (a^2 - x^2)y - y^33 ]0^raiza^2 - x^2
= 2 [ (a^2 - x^2)raiza^2 - x^2 - (a^2 - x^2)^3/23 ]
= 2 cdot 23 (a^2 - x^2)^3/2 = 43 (a^2 - x^2)^3/2

Passo 9

Substituindo de volta na integral em M = k cdot 43 integral-a^a (a^2 - x^2)^3/2 , dx :
M = 8k3 integral0^a (a^2 - x^2)^3/2 , dx
Devido à simetria, podemos calcular de a e multiplicar por 2:

Passo 10

Resolvendo a integral, sabemos que:
integral0^a (a^2 - x^2)^3/2 , dx = 3pi a^416
Portanto:
M = 8k3 cdot 3pi a^416 = k pi a^42

Resposta

A massa da bola é .

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