Qual a massa de uma bola de raio , cuja densidade em qualquer ponto é proporcional, da ordem de , à distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Expresse a integral em CC.
R:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma bola com raio , e a densidade em qualquer ponto dessa bola depende da distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Essa dependência é proporcional a uma constante positiva . Nosso objetivo é calcular a massa dessa bola usando integração em coordenadas cartesianas (CC).
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como a densidade varia dentro da bola. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto ao plano. Então podemos escrever:
onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Vamos escolher o plano de referência. Como o plano passa pela origem, podemos simplificar escolhendo, por exemplo, o plano . Assim, a distância de um ponto a esse plano é simplesmente . Portanto, a densidade fica:
Como estamos lidando com uma esfera simétrica em relação ao plano , podemos considerar apenas e depois multiplicar por 2.
Passo 4
Para calcular a massa, vamos integrar a densidade sobre todo o volume da esfera. A massa é dada por:
Em coordenadas cartesianas, o elemento de volume é .
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. A esfera de raio tem a equação . Para facilitar, vamos integrar primeiro em , depois em , e por fim em :
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em :
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Podemos simplificar:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em :
Passo 9
Substituindo de volta na integral em :
Devido à simetria, podemos calcular de a e multiplicar por 2: