Qual a massa de uma bola de raio , cuja densidade em qualquer ponto é proporcional, da ordem de , à distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Expresse a integral em CC.
R:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma bola com raio , e a densidade em qualquer ponto dessa bola depende da distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Essa dependência é proporcional a uma constante positiva . Nosso objetivo é calcular a massa dessa bola usando integração em coordenadas cartesianas (CC).

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como a densidade varia dentro da bola. A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância desse ponto ao plano. Então podemos escrever:
onde é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Vamos escolher o plano de referência. Como o plano passa pela origem, podemos simplificar escolhendo, por exemplo, o plano . Assim, a distância de um ponto a esse plano é simplesmente . Portanto, a densidade fica:
Como estamos lidando com uma esfera simétrica em relação ao plano , podemos considerar apenas e depois multiplicar por 2.

Passo 4

Para calcular a massa, vamos integrar a densidade sobre todo o volume da esfera. A massa é dada por:
Em coordenadas cartesianas, o elemento de volume é .

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. A esfera de raio tem a equação . Para facilitar, vamos integrar primeiro em , depois em , e por fim em :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
Podemos simplificar:

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em :

Passo 9

Substituindo de volta na integral em :
Devido à simetria, podemos calcular de a e multiplicar por 2:

Passo 10

Resolvendo a integral, sabemos que:
Portanto:

Resposta

A massa da bola é .

Exercícios relacionados

Utilize CP para determinar o volume do sólido descrito em cada item. Represente cada sólido:
Limitado pelo paraboloide e pelo plano
. Utilize a regra de Simpson , considere 7 pontos para essa integração e 4 decimais.
(a) 8,6303
(b) 8,7411
© 8,5749
(d) 8,6295
(e) Não sei
Calcule a seguinte integral por C.Cil e por CC: ; em que
Encontre a integral da função sobre a porção do cilindro que fica entre os planos e R: