Utilize CP para determinar o volume do sólido descrito em cada item. Represente cada sólido:
Limitado pelo paraboloide e pelo plano

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular o volume de um sólido que é limitado por um paraboloide dado pela equação e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do paraboloide facilita esse tipo de cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o plano se encontram. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Isso representa um círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, e varia do paraboloide até o plano.
Os limites de integração são:
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a
  • varia de a 7
A integral para o volume será:

Passo 4

Vamos resolver a integral começando por :
Substituindo na integral:

Passo 5

Multiplicando os termos dentro da integral:
Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Substituindo :

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

. Utilize a regra de Simpson , considere 7 pontos para essa integração e 4 decimais.
(a) 8,6303
(b) 8,7411
© 8,5749
(d) 8,6295
(e) Não sei
. function [c status] func2
status ;

;
while(fc tol)

;
else

endif

;
endwhile
status ;
endfunction
Vamos fazer alguma afirmações, marque as que achar corretas.
(a) Mesmo que a função (b) É necessário testar, no início da função, a possibili-
dade de © A saída com status igual a 1 não significa necessariamente que (d) Nenhuma das demais afirmativas é verdadeira.
(e) Não sei
Qual a massa de uma bola de raio , cuja densidade em qualquer ponto é proporcional, da ordem de , à distância desse ponto a um plano fixo que passa pela origem. Expresse a integral em CC.
R:
Calcule a seguinte integral por C.Cil e por CC: ; em que