Utilize CP para determinar o volume do sólido descrito em cada item. Represente cada sólido:
Limitado pelo paraboloide z=1+2 x^2+2 y^2 e pelo plano z=7 R: 9 pi

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular o volume de um sólido que é limitado por um paraboloide dado pela equação e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do paraboloide facilita esse tipo de cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o plano se encontram. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
1 + 2x^2 + 2y^2 = 7
Subtraindo 1 de ambos os lados:
2x^2 + 2y^2 = 6
Dividindo tudo por 2:
x^2 + y^2 = 3
Isso representa um círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, V = integral0^2pi integral0^raiz3 integral1 + 2r^2^7 r , dz , dr , dtheta e varia do paraboloide até o plano.
Os limites de integração são:
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a
  • varia de a 7
A integral para o volume será:

Passo 4

Vamos resolver a integral começando por integral1 + 2r^2^7 dz = 7 - (1 + 2r^2) = 6 - 2r^2 :
V = integral0^2pi integral0^raiz3 (6 - 2r^2) r , dr , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 5

Multiplicando os termos dentro da integral:
(6 - 2r^2) r = 6r - 2r^3
Assim, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^raiz3 (6r - 2r^3) , dr , dtheta

Passo 6

Agora, integramos em relação a integral0^raiz3 (6r - 2r^3) , dr = 6 cdot r^22 - 2 cdot r^44 g|0^raiz3 = 3r^2 - r^42 g|0^raiz3 :
3(raiz3)^2 - (raiz3)^42 = 3 cdot 3 - 92 = 9 - 4.5 = 4.5
Substituindo :

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a V = integral0^2pi 4.5 , dtheta = 4.5 cdot 2pi = 9pi :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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