Utilize CP para determinar o volume do sólido descrito em cada item. Represente cada sólido:
Limitado pelo paraboloide e pelo plano
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular o volume de um sólido que é limitado por um paraboloide dado pela equação e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente coordenadas cilíndricas, porque a simetria do paraboloide facilita esse tipo de cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o plano se encontram. Isso nos ajudará a determinar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo tudo por 2:
Isso representa um círculo de raio no plano .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, e varia do paraboloide até o plano.
Os limites de integração são:
varia de 0 a
varia de 0 a
varia de a 7
A integral para o volume será:
Passo 4
Vamos resolver a integral começando por :
Substituindo na integral:
Passo 5
Multiplicando os termos dentro da integral:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Substituindo :
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a V = integral0^2pi 4.5 , dtheta = 4.5 cdot 2pi = 9pi :