Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites, especificamente analisando o comportamento de uma expressão quando
cresce sem limite. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre potências e como elas se comportam quando a base está entre 0 e 1.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para ficar mais fácil de trabalhar. Observe que
é o mesmo que
, então:
Fazendo o mesmo para o segundo termo:
Então, agora nossa expressão é:
Passo 3
Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiramente,
.
Sabemos que
. Quando temos uma base entre 0 e 1 elevada a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a 0. Ou seja,
vai para 0 conforme
aumenta.
Além disso, o denominador
cresce para o infinito, mas de forma bem mais lenta comparado ao decaimento exponencial de
. Portanto, todo o termo
tende a 0.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o segundo termo:
.
Assim como no primeiro termo,
. Portanto,
também tende a 0 conforme
cresce.
O denominador
também cresce, mas similarmente ao primeiro caso, essa crescimento é muito mais lento que o decaimento de
. Logo, o termo
também tende a 0.
Passo 5
Finalmente, juntando os dois resultados:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
.
Seja a função
, estime do valor da integral
usando a regra do trapézio composta de modo que o erro de truncamento máximo seja menor ou igual a
.
Encontre as somas das seguinted serties:
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Encontre as somas das seguinted serties: