Calcule os seguintes limites:
(b) lim n infty(3^n 4^-nn^1 / 3+4^n 5^-nn^1 / 5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim n infty(3^n 4^-nn^1 / 3+4^n 5^-nn^1 / 5)
Aqui, estamos lidando com limites, especificamente analisando o comportamento de uma expressão quando cresce sem limite. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre potências e como elas se comportam quando a base está entre 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para ficar mais fácil de trabalhar. Observe que 3^n 4^-nn^1 / 3 = 3^n4^n cdot n^1/3 = (3/4)^nn^1/3 é o mesmo que 4^n 5^-nn^1 / 5 = 4^n5^n cdot n^1/5 = (4/5)^nn^1/5 , então:
lim n infty ( (3/4)^nn^1/3 + (4/5)^nn^1/5 )
Fazendo o mesmo para o segundo termo:
Então, agora nossa expressão é:

Passo 3

Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiramente, .
Sabemos que . Quando temos uma base entre 0 e 1 elevada a uma potência que tende ao infinito, o resultado tende a 0. Ou seja, vai para 0 conforme aumenta.
Além disso, o denominador cresce para o infinito, mas de forma bem mais lenta comparado ao decaimento exponencial de . Portanto, todo o termo tende a 0.

Passo 4

Agora, vamos olhar para o segundo termo: .
Assim como no primeiro termo, . Portanto, também tende a 0 conforme cresce.
O denominador também cresce, mas similarmente ao primeiro caso, essa crescimento é muito mais lento que o decaimento de . Logo, o termo também tende a 0.

Passo 5

Finalmente, juntando os dois resultados:
lim n infty ( (3/4)^nn^1/3 + (4/5)^nn^1/5 ) = 0 + 0 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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