Seja a função , estime do valor da integral usando a regra do trapézio composta de modo que o erro de truncamento máximo seja menor ou igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para estimar o valor da integral usando a regra do trapézio composta, garantindo que o erro de truncamento máximo seja no máximo . Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, onde a gente aprende métodos para calcular integrais aproximadas quando não é fácil ou possível resolver exatamente. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a regra do trapézio composta e como calcular o erro associado a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a regra do trapézio composta. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em vários subintervalos menores e substituindo a área sob a curva em cada subintervalo por um trapézio. A fórmula geral da regra do trapézio composta é:
Aqui, é o tamanho de cada subintervalo, é o número de subintervalos, e são os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o erro da regra do trapézio composta. O erro de truncamento para essa regra é dado por:
Essa fórmula nos diz que o erro depende do comprimento do intervalo , do número de subintervalos e da segunda derivada da função . Nosso objetivo é garantir que esse erro seja menor ou igual a .

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada da função :
Como é sempre positivo e crescente, o valor máximo de no intervalo é .
Agora, queremos que o erro seja:
Simplificando:
Resolvendo para :
Então, . Como precisa ser inteiro, vamos escolher para garantir que o erro seja menor que .

Passo 5

Agora que temos , vamos calcular o tamanho de cada subintervalo:
Vamos calcular os pontos de divisão: , , , , , , , , .
Agora, aplicando a fórmula da regra do trapézio composta:
Calculando os valores de :
Substituindo na fórmula:
Calculando a soma dentro dos parênteses:
Agora:

Resposta

A estimativa do valor da integral usando a regra do trapézio composta com subintervalos é aproximadamente .

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Dizemos que uma função é par se e ímpar se . Verifique se cada função é par ou impar:
Se , mostre que .
Calcule os seguintes limites:
.
Calcule os seguintes limites:
.