Seja a função
, estime do valor da integral
usando a regra do trapézio composta de modo que o erro de truncamento máximo seja menor ou igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para estimar o valor da integral
usando a regra do trapézio composta, garantindo que o erro de truncamento máximo seja no máximo
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, onde a gente aprende métodos para calcular integrais aproximadas quando não é fácil ou possível resolver exatamente. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a regra do trapézio composta e como calcular o erro associado a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a regra do trapézio composta. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em vários subintervalos menores e substituindo a área sob a curva em cada subintervalo por um trapézio. A fórmula geral da regra do trapézio composta é:
Aqui,
é o tamanho de cada subintervalo,
é o número de subintervalos,
e
são os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o erro da regra do trapézio composta. O erro de truncamento para essa regra é dado por:
Essa fórmula nos diz que o erro depende do comprimento do intervalo
, do número de subintervalos
e da segunda derivada da função
. Nosso objetivo é garantir que esse erro seja menor ou igual a
.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada da função
:
Como
é sempre positivo e crescente, o valor máximo de
no intervalo
é
.
Agora, queremos que o erro seja:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Então,
. Como
precisa ser inteiro, vamos escolher
para garantir que o erro seja menor que
.
Passo 5
Agora que temos
, vamos calcular o tamanho de cada subintervalo:
Vamos calcular os pontos de divisão:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Agora, aplicando a fórmula da regra do trapézio composta:
Calculando os valores de
:
Substituindo na fórmula:
Calculando a soma dentro dos parênteses:
Agora:
Resposta
A estimativa do valor da integral usando a regra do trapézio composta com
subintervalos é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Dizemos que uma função é par se
e ímpar se
. Verifique se cada função é par ou impar:
Se
, mostre que
.
Calcule os seguintes limites:
.
Calcule os seguintes limites:
.