Seja a função f(x)=e^x, estime do valor da integral l(x) usando a regra do trapézio composta de modo que o erro de truncamento máximo seja menor ou igual a 0 , 1.
I(x)=integral0^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para estimar o valor da integral usando a regra do trapézio composta, garantindo que o erro de truncamento máximo seja no máximo . Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, onde a gente aprende métodos para calcular integrais aproximadas quando não é fácil ou possível resolver exatamente. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a regra do trapézio composta e como calcular o erro associado a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a regra do trapézio composta. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em vários subintervalos menores e substituindo a área sob a curva em cada subintervalo por um trapézio. A fórmula geral da regra do trapézio composta é:
Tn = h2 [ f(a) + 2 sumk=1^n-1 f(a + kh) + f(b) ]
Aqui, é o tamanho de cada subintervalo, é o número de subintervalos, e são os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o erro da regra do trapézio composta. O erro de truncamento para essa regra é dado por:
E <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Essa fórmula nos diz que o erro depende do comprimento do intervalo , do número de subintervalos e da segunda derivada da função . Nosso objetivo é garantir que esse erro seja menor ou igual a .

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada da função f'(x) = e^x :
f''(x) = e^x
(2 - 0)^312n^2 cdot e^2 <= 0,1
Como 812n^2 cdot e^2 <= 0,1 é sempre positivo e crescente, o valor máximo de 23n^2 cdot e^2 <= 0,1 no intervalo n^2 >= 2 e^23 times 0,1 = 2 e^20,3 approx 2 times 7,3890,3 approx 14,7780,3 approx 49,26 é .
Agora, queremos que o erro seja:
Simplificando:
Resolvendo para :
Então, . Como precisa ser inteiro, vamos escolher para garantir que o erro seja menor que .

Passo 5

Agora que temos h = 2 - 08 = 0,25 , vamos calcular o tamanho de cada subintervalo:
T8 = 0,252 [ e^0 + 2(e^0,25 + e^0,5 + e^0,75 + e^1 + e^1,25 + e^1,5 + e^1,75) + e^2 ]
Vamos calcular os pontos de divisão: e^0 = 1 , e^0,25 approx 1,2840 , e^0,5 approx 1,6487 , e^0,75 approx 2,1170 , e^1 approx 2,7183 , e^1,25 approx 3,4903 , e^1,5 approx 4,4817 , e^1,75 approx 5,7546 , e^2 approx 7,3891 .
Agora, aplicando a fórmula da regra do trapézio composta:
T8 = 0,252 [ 1 + 2(1,2840 + 1,6487 + 2,1170 + 2,7183 + 3,4903 + 4,4817 + 5,7546) + 7,3891 ]
Calculando os valores de 2(1,2840 + 1,6487 + 2,1170 + 2,7183 + 3,4903 + 4,4817 + 5,7546) = 2 times 21,183 approx 42,366 :
T8 = 0,252 (1 + 42,366 + 7,3891) = 0,252 times 50,7551 approx 0,125 times 50,7551 approx 6,3444
Substituindo na fórmula:
Calculando a soma dentro dos parênteses:
Agora:

Resposta

A estimativa do valor da integral usando a regra do trapézio composta com subintervalos é aproximadamente .

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