Calcule os seguintes limites:
(a) lim n infty(3 n^3+11+n+n^2+n^3)(4 n^4+11+n+n^2+n^3+n^4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando (3n^3 + 11 + n + n^2 + n^3)(4n^4 + 11 + n + n^2 + n^3 + n^4) tende ao infinito da expressão:
Vamos utilizar limites de funções racionais e análise de termos de maior grau para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada fração separadamente, focando nos termos de maior grau no numerador e denominador. Quando 3n^3 + 11 + n + n^2 + n^3 tende ao infinito, os termos de menor grau se tornam insignificantes.
Para a primeira fração:
3n^3n^3 = 3
O termo de maior grau no numerador é e no denominador é . Então, podemos aproximar a fração por:

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para a segunda fração:
4n^4 + 11 + n + n^2 + n^3 + n^4
Aqui, o termo de maior grau no numerador é 4n^4n^4 = 4 e no denominador é . Assim, a fração simplifica para:

Passo 4

Com as duas frações simplificadas, substituímos de volta na expressão original:
(3)(4) = 12

Resposta

O limite é .

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