Encontre as somas das seguinted serties:
(b) sumn=0^infty(2^n+1 3^-n+3^n+2 4^-n) -

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série juntos! A questão pede para encontrar a soma da série infinita:
sumn=0^infty(2^n+1 cdot 3^-n + 3^n+2 cdot 4^-n)
Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Para resolver, vamos separar essa série em duas partes e somar as somas individuais no final.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries menores:
sumn=0^infty 2^n+1 cdot 3^-n e sumn=0^infty 3^n+2 cdot 4^-n
Assim, nossa soma original fica:
sumn=0^infty(2^n+1 cdot 3^-n + 3^n+2 cdot 4^-n) = sumn=0^infty 2^n+1 cdot 3^-n + sumn=0^infty 3^n+2 cdot 4^-n

Passo 3

Vamos resolver a primeira série:
sumn=0^infty 2^n+1 cdot 3^-n
Primeiro, simplificamos os termos:
2^n+1 = 2 cdot 2^n e 3^-n = (13)^n
Então, a série fica:
2 cdot sumn=0^infty (23)^n
Essa é uma série geométrica com razão 2 cdot 11 - 23 = 2 cdot 113 = 2 cdot 3 = 6 . Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é , onde é o primeiro termo.
Aqui, (quando ), então a soma é:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda série:
sumn=0^infty 3^n+2 cdot 4^-n
Primeiro, simplificamos os termos:
3^n+2 = 9 cdot 3^n e 4^-n = (14)^n
Então, a série fica:
9 cdot sumn=0^infty (34)^n
Essa também é uma série geométrica com razão 9 cdot 11 - 34 = 9 cdot 114 = 9 cdot 4 = 36 . Usando a fórmula da soma:

Resposta

Somando as duas partes:
6 + 36 = 42
Portanto, a soma da série é 42.

Exercícios relacionados