Encontre as somas das seguinted serties:
(a) sumn=0^infty(12^n+23^n+34^n)=

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a soma de uma série infinita que é a soma de três termos: , e , onde vai de 0 até o infinito. O conteúdo que vamos usar aqui é o de séries geométricas, que são aquelas onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita. Se temos uma série da forma S = a1 - r , onde é o primeiro termo e é a razão, a soma é dada por:
Essa fórmula funciona quando o valor absoluto da razão é menor que 1, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos separar a série que temos em três partes:
sumn=0^infty (12^n + 23^n + 34^n) = sumn=0^infty 12^n + sumn=0^infty 23^n + sumn=0^infty 34^n
Vamos calcular cada uma dessas somas separadamente.

Passo 4

Primeira soma:
sumn=0^infty 12^n
Aqui, o primeiro termo S1 = 11 - 12 = 112 = 2 e a razão . Aplicando a fórmula da soma:

Passo 5

Segunda soma:
sumn=0^infty 23^n
Aqui, o primeiro termo S2 = 21 - 13 = 223 = 3 e a razão . Aplicando a fórmula:

Passo 6

Terceira soma:
sumn=0^infty 34^n
Aqui, o primeiro termo S3 = 31 - 14 = 334 = 4 e a razão . Aplicando a fórmula:

Resposta

Somando as três partes:
S = S1 + S2 + S3 = 2 + 3 + 4 = 9
Então, a soma da série é 9.

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