Calcule os seguintes limites.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites que tem três partes. A gente vai precisar usar conhecimentos de álgebra para fatorar expressões polinomiais, entender raiz cúbica e também trigonometria para a parte com a função tangente. Vamos resolver cada limite separadamente, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite
.
O que precisamos:
- Saber fatorar polinômios.
- Entender o comportamento das funções quando
se aproxima de 1.
Resolução:
Olhando para , percebemos que tanto o numerador quanto o denominador se anulam quando
. Então, vamos fatorar:
Olhando para
- O numerador
pode ser fatorado como usando a fatoração da diferença de cubos. - O denominador
pode ser fatorado como usando a diferença de quadrados.
Substituindo na expressão:
Agora, podemos substituir
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o segundo limite
.
O que precisamos:
- Conhecer a expansão em série de Taylor ou usar fatoração para raízes.
- Alternativamente, podemos usar a regra de L’Hôpital.
Resolução:
Substituindo , obtemos
, que é indeterminado. Então, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Substituindo
Derivada do numerador
é 1.
Derivada do denominador
é
.
Aplicando a regra:
Passo 4
Por último, vamos calcular o terceiro limite
.
O que precisamos:
- Conhecer o limite fundamental
. - Fazer uma mudança de variável para simplificar.
Resolução:
Vamos fazer uma substituição: . Quando
, então
.
Vamos fazer uma substituição:
Reescrevendo o limite:
Resposta
Os limites são:
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.
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