Calcule os seguintes limites.
lim t 1(t^3-1t^2-1, t-1raiz[3]t-1, tg pi(t-1)t-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites que tem três partes. A gente vai precisar usar conhecimentos de álgebra para fatorar expressões polinomiais, entender raiz cúbica e também trigonometria para a parte com a função tangente. Vamos resolver cada limite separadamente, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite t^3 - 1t^2 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)(t - 1)(t + 1) = t^2 + t + 1t + 1 .
O que precisamos:
  • Saber fatorar polinômios.
  • Entender o comportamento das funções quando 1^2 + 1 + 11 + 1 = 32 se aproxima de 1.
Resolução:
Olhando para , percebemos que tanto o numerador quanto o denominador se anulam quando . Então, vamos fatorar:
  • O numerador pode ser fatorado como usando a fatoração da diferença de cubos.
  • O denominador pode ser fatorado como usando a diferença de quadrados.
Substituindo na expressão:
Agora, podemos substituir :

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite lim t 1 113 t^-2/3 = lim t 1 3 t^2/3 = 3 times 1^2/3 = 3 .
O que precisamos:
  • Conhecer a expansão em série de Taylor ou usar fatoração para raízes.
  • Alternativamente, podemos usar a regra de L’Hôpital.
Resolução:
Substituindo , obtemos , que é indeterminado. Então, vamos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador é 1.
Derivada do denominador é .
Aplicando a regra:

Passo 4

Por último, vamos calcular o terceiro limite lim x 0 tan xxpi = lim x 0 pi tan xx = pi times lim x 0 tan xx = pi times 1 = pi .
O que precisamos:
  • Conhecer o limite fundamental .
  • Fazer uma mudança de variável para simplificar.
Resolução:
Vamos fazer uma substituição: . Quando , então .
Reescrevendo o limite:

Resposta

Os limites são:
( 32, 3, pi )

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