Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação
com menor erro relativo sabendo que
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa achar as raízes da equação quadrática
de um jeito que o erro relativo seja o menor possível. Isso está dentro da matéria de Equações do Segundo Grau e vamos precisar usar uma fórmula melhorada para calcular as raízes, especialmente sabendo que
.
Passo 2
Primeiro, lembra que a fórmula de Bhaskara padrão é:
Ela nos dá as duas soluções para
, mas pode ter problemas de precisão numerica por causa da subtração dentro da raiz.
Passo 3
Para minimizar o erro relativo, a gente precisa evitar a subtração que pode causar perda de precisão. Uma maneira de fazer isso é multiplicar e dividir por uma expressão conjugada.
Passo 4
Vamos calcular uma raiz de cada vez. Vamos começar com a raiz que usa
. A fórmula ajustada fica:
Aqui, a gente escolhe o sinal que evita a perda de precisão, dependendo do sinal de
.
Passo 5
Agora, para a outra raiz, a gente faz o seguinte ajuste para manter a precisão:
Essa fórmula passa a usar a multiplicação para evitar a subtração que poderia gerar erro.
Passo 6
Então, juntando tudo, as fórmulas ajustadas para calcular as raízes com menor erro relativo quando
são:
Resposta
As fórmulas para calcular as raízes da equação
com menor erro relativo, sabendo que
, são: