Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação
com menor erro relativo sabendo que
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa achar as raízes da equação quadrática
de um jeito que o erro relativo seja o menor possível. Isso está dentro da matéria de Equações do Segundo Grau e vamos precisar usar uma fórmula melhorada para calcular as raízes, especialmente sabendo que
.
Passo 2
Primeiro, lembra que a fórmula de Bhaskara padrão é:
Ela nos dá as duas soluções para
, mas pode ter problemas de precisão numerica por causa da subtração dentro da raiz.
Passo 3
Para minimizar o erro relativo, a gente precisa evitar a subtração que pode causar perda de precisão. Uma maneira de fazer isso é multiplicar e dividir por uma expressão conjugada.
Passo 4
Vamos calcular uma raiz de cada vez. Vamos começar com a raiz que usa
. A fórmula ajustada fica:
Aqui, a gente escolhe o sinal que evita a perda de precisão, dependendo do sinal de
.
Passo 5
Agora, para a outra raiz, a gente faz o seguinte ajuste para manter a precisão:
Essa fórmula passa a usar a multiplicação para evitar a subtração que poderia gerar erro.
Passo 6
Então, juntando tudo, as fórmulas ajustadas para calcular as raízes com menor erro relativo quando
são:
Resposta
As fórmulas para calcular as raízes da equação
com menor erro relativo, sabendo que
, são:
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola
em
e
.
Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo
em
subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos
por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de
para pontos igualmente espaçados no intervalo
. Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de
tenha erro absoluto menor que
para qualquer
? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto
dentro de um subintervalo genérico
e use o fato de que
para
.
Prove que equação
possui uma raiz localizada no intervalo
. Calcule o primeiro termo da seqüência no método de falsa posição. Prove que a equação possui uma única raiz real.
Calcule os seguintes limites.
.