Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação com menor erro relativo sabendo que .

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa achar as raízes da equação quadrática de um jeito que o erro relativo seja o menor possível. Isso está dentro da matéria de Equações do Segundo Grau e vamos precisar usar uma fórmula melhorada para calcular as raízes, especialmente sabendo que .

Passo 2

Primeiro, lembra que a fórmula de Bhaskara padrão é:
Ela nos dá as duas soluções para , mas pode ter problemas de precisão numerica por causa da subtração dentro da raiz.

Passo 3

Para minimizar o erro relativo, a gente precisa evitar a subtração que pode causar perda de precisão. Uma maneira de fazer isso é multiplicar e dividir por uma expressão conjugada.

Passo 4

Vamos calcular uma raiz de cada vez. Vamos começar com a raiz que usa . A fórmula ajustada fica:
Aqui, a gente escolhe o sinal que evita a perda de precisão, dependendo do sinal de .

Passo 5

Agora, para a outra raiz, a gente faz o seguinte ajuste para manter a precisão:
Essa fórmula passa a usar a multiplicação para evitar a subtração que poderia gerar erro.

Passo 6

Então, juntando tudo, as fórmulas ajustadas para calcular as raízes com menor erro relativo quando são:

Resposta

As fórmulas para calcular as raízes da equação com menor erro relativo, sabendo que , são:

Exercícios relacionados

Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola em e .
Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo em subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de para pontos igualmente espaçados no intervalo . Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de tenha erro absoluto menor que para qualquer ? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto dentro de um subintervalo genérico e use o fato de que para .
Prove que equação possui uma raiz localizada no intervalo . Calcule o primeiro termo da seqüência no método de falsa posição. Prove que a equação possui uma única raiz real.
Calcule os seguintes limites.
.