Prove que equação x^3+x-1=0 possui uma raiz localizada no intervalo [0,1]. Calcule o primeiro termo da seqüência no método de falsa posição. Prove que a equação possui uma única raiz real.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos fazer três coisas:
  1. Mostrar que essa equação tem pelo menos uma raiz no intervalo .
  2. Calcular o primeiro termo da sequência usando o método da falsa posição.
  3. Provar que essa equação tem apenas uma raiz real.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matemática, como o Teorema de Bolzano para localizar a raiz e entender o método da falsa posição. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos provar que existe ao menos uma raiz no intervalo f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1 . Para isso, usamos o Teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular o valor da função f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1 nos extremos do intervalo.
Para :
Para :
Observamos que e . Como a função passa de negativa para positiva e é contínua (porque é um polinômio), pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora, vamos calcular o primeiro termo da sequência usando o método da falsa posição (também conhecido como método da regula falsi). Esse método é uma técnica iterativa para encontrar raízes de equações.
A fórmula para encontrar o próximo valor xn+1 = b - f(b)(a - b)f(a) - f(b) é:
x1 = 1 - 1 cdot (0 - 1)-1 - 1 = 1 - 1 cdot (-1)-2 = 1 - 12 = 0.5
onde e são os pontos do intervalo, e e são os valores da função nesses pontos.
Vamos aplicar isso ao nosso intervalo :
Substituindo na fórmula:
Então, o primeiro termo da sequência é .

Passo 4

Por fim, precisamos provar que a equação f'(x) = 3x^2 + 1 tem apenas uma raiz real.
Consideramos a função . Vamos analisar sua derivada para entender seu comportamento.
A derivada de é:
Note que é sempre positiva para todo real, já que e multiplicando por 3 e somando 1 mantém o valor positivo. Isso significa que é uma função estritamente crescente.
Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo no máximo uma vez, o que implica que há apenas uma raiz real para a equação .

Resposta

A equação possui uma única raiz no intervalo . O primeiro termo da sequência pelo método da falsa posição é , e essa é a única raiz real da equação.

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