Prove que equação
possui uma raiz localizada no intervalo
. Calcule o primeiro termo da seqüência no método de falsa posição. Prove que a equação possui uma única raiz real.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos fazer três coisas:
- Mostrar que essa equação tem pelo menos uma raiz no intervalo
. - Calcular o primeiro termo da sequência usando o método da falsa posição.
- Provar que essa equação tem apenas uma raiz real.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matemática, como o Teorema de Bolzano para localizar a raiz e entender o método da falsa posição. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos provar que existe ao menos uma raiz no intervalo
. Para isso, usamos o Teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular o valor da função
nos extremos do intervalo.
Para
:
Para
:
Observamos que
e
. Como a função passa de negativa para positiva e é contínua (porque é um polinômio), pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o primeiro termo da sequência usando o método da falsa posição (também conhecido como método da regula falsi). Esse método é uma técnica iterativa para encontrar raízes de equações.
A fórmula para encontrar o próximo valor
é:
onde
e
são os pontos do intervalo, e
e
são os valores da função nesses pontos.
Vamos aplicar isso ao nosso intervalo
:
Substituindo na fórmula:
Então, o primeiro termo da sequência é
.
Passo 4
Por fim, precisamos provar que a equação
tem apenas uma raiz real.
Consideramos a função
. Vamos analisar sua derivada para entender seu comportamento.
A derivada de
é:
Note que
é sempre positiva para todo
real, já que
e multiplicando por 3 e somando 1 mantém o valor positivo. Isso significa que
é uma função estritamente crescente.
Uma função estritamente crescente pode cruzar o eixo
no máximo uma vez, o que implica que há apenas uma raiz real para a equação
.
Resposta
A equação
possui uma única raiz no intervalo
. O primeiro termo da sequência pelo método da falsa posição é
, e essa é a única raiz real da equação.
Exercícios relacionados
Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação
com menor erro relativo sabendo que
.
Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola
em
e
.
Calcule os seguintes limites.
.
Calcule as funções derivadas das seguintes funções.
;