Calcule a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos.
Dica: Note que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos. Isso está ligado ao estudo de sequências e somas de termos, então vamos usar fórmulas de somatório para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa somar os quadrados dos n primeiros números ímpares. Os números ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2, tipo 1, 3, 5, e assim por diante. Então, a soma que a gente quer calcular é:

Passo 3

A dica nos mostra que podemos reescrever essa soma de uma forma mais fácil de trabalhar:
Isso significa que vamos somar, para cada valor de i de 1 até n, o quadrado de (2i - 1).

Passo 4

Vamos expandir o quadrado dentro da soma:
Então, nossa soma fica:

Passo 5

Agora, vamos separar essa soma em três partes diferentes:
Cada uma dessas somas podemos calcular usando fórmulas conhecidas.

Passo 6

Vamos calcular cada soma separadamente:
  1. Soma dos quadrados:
  2. Soma dos termos lineares:
  3. Soma das constantes:

Passo 7

Substituindo essas fórmulas na nossa expressão original:
Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeira parte:
  2. Segunda parte:
  3. Terceira parte permanece:

Passo 8

Agora, juntando tudo:
Vamos fatorar n(n + 1) na primeira e segunda partes:
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 9

Substituindo de volta:
Expandindo e simplificando:

Resposta

A soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos é:

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Escreva as expressões que seguem, usando a notação somatório.
Expandir os seguintes produtos:
Escreva as expressões que seguem usando a notação produtório.