Calcule a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos.
Dica: Note que
Dica: Note que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos. Isso está ligado ao estudo de sequências e somas de termos, então vamos usar fórmulas de somatório para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa somar os quadrados dos n primeiros números ímpares. Os números ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2, tipo 1, 3, 5, e assim por diante. Então, a soma que a gente quer calcular é:
Passo 3
A dica nos mostra que podemos reescrever essa soma de uma forma mais fácil de trabalhar:
Isso significa que vamos somar, para cada valor de i de 1 até n, o quadrado de (2i - 1).
Passo 4
Vamos expandir o quadrado dentro da soma:
Então, nossa soma fica:
Passo 5
Agora, vamos separar essa soma em três partes diferentes:
Cada uma dessas somas podemos calcular usando fórmulas conhecidas.
Passo 6
Vamos calcular cada soma separadamente:
-
Soma dos quadrados:
-
Soma dos termos lineares:
-
Soma das constantes:
Passo 7
Substituindo essas fórmulas na nossa expressão original:
Vamos simplificar cada parte:
-
Primeira parte:
-
Segunda parte:
-
Terceira parte permanece:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Vamos fatorar n(n + 1) na primeira e segunda partes:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 9
Substituindo de volta:
Expandindo e simplificando:
Resposta
A soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos é:
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Avalie
, considerando
.
Escreva as expressões que seguem, usando a notação somatório.
Expandir os seguintes produtos:
Escreva as expressões que seguem usando a notação produtório.