Calcule a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos.
Dica: Note que 1^2+3^2+5^2+ldots+(2 n-1)^2=sumi=1^n(2 i-1)^2=sumi=1^n(4 i^2-4 i+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos. Isso está ligado ao estudo de sequências e somas de termos, então vamos usar fórmulas de somatório para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa somar os quadrados dos n primeiros números ímpares. Os números ímpares são aqueles que não são divisíveis por 2, tipo 1, 3, 5, e assim por diante. Então, a soma que a gente quer calcular é:
1^2 + 3^2 + 5^2 + ldots + (2n - 1)^2

Passo 3

A dica nos mostra que podemos reescrever essa soma de uma forma mais fácil de trabalhar:
sumi=1^n (2i - 1)^2
Isso significa que vamos somar, para cada valor de i de 1 até n, o quadrado de (2i - 1).

Passo 4

Vamos expandir o quadrado dentro da soma:
(2i - 1)^2 = 4i^2 - 4i + 1
Então, nossa soma fica:
sumi=1^n (4i^2 - 4i + 1)

Passo 5

Agora, vamos separar essa soma em três partes diferentes:
4sumi=1^n i^2 - 4sumi=1^n i + sumi=1^n 1
Cada uma dessas somas podemos calcular usando fórmulas conhecidas.

Passo 6

Vamos calcular cada soma separadamente:
  1. Soma dos quadrados:
    sumi=1^n i^2 = n(n + 1)(2n + 1)6
  2. Soma dos termos lineares:
    sumi=1^n i = n(n + 1)2
  3. Soma das constantes:
    sumi=1^n 1 = n

Passo 7

Substituindo essas fórmulas na nossa expressão original:
4 ( n(n + 1)(2n + 1)6 ) - 4 ( n(n + 1)2 ) + n
Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeira parte:
    4 cdot n(n + 1)(2n + 1)6 = 4n(n + 1)(2n + 1)6 = 2n(n + 1)(2n + 1)3
  2. Segunda parte:
    4 cdot n(n + 1)2 = 2n(n + 1)
  3. Terceira parte permanece:
    n

Passo 8

Agora, juntando tudo:
2n(n + 1)(2n + 1)3 - 2n(n + 1) + n
Vamos fatorar n(n + 1) na primeira e segunda partes:
n(n + 1) ( 2(2n + 1)3 - 2 ) + n
Simplificando dentro dos parênteses:
4n + 23 - 63 = 4n - 43 = 4(n - 1)3

Passo 9

Substituindo de volta:
n(n + 1) cdot 4(n - 1)3 + n = 4n(n + 1)(n - 1)3 + n
Expandindo e simplificando:
4n(n^2 - 1)3 + n = 4n^3 - 4n3 + n = 4n^3 - 4n + 3n3 = 4n^3 - n3

Resposta

A soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos é:
n(2n - 1)(2n + 1)3

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