Calcule a soma da série
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma da série infinita
. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades das funções trigonométricas. Vamos precisar dividir a série em partes mais simples e aplicar fórmulas de somatório de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas:
Isso facilita a resolução, pois podemos calcular cada parte individualmente.
Passo 3
Vamos calcular a primeira série:
. Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, o que é o caso aqui, já que
.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda série:
. Observe que
pode ser simplificado para
, já que
.
Então, a série fica:
Essa também é uma série geométrica, mas com razão
.
Usando a mesma fórmula da série geométrica infinita, temos:
Resposta
Somando as duas partes que calculamos: