Calcule a soma da série sumk=1^infty[e^-k+cos (k pi) e2^k].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma da série infinita sumk=1^infty[e^-k+cos (k pi) e2^k]. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades das funções trigonométricas. Vamos precisar dividir a série em partes mais simples e aplicar fórmulas de somatório de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries distintas:
sumk=1^infty e^-k e sumk=1^infty cos(k pi) e2^k
Isso facilita a resolução, pois podemos calcular cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira série: sumk=1^infty e^-k. Essa é uma série geométrica com razão r = e^-1. Sabemos que uma série geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, o que é o caso aqui, já que e^-1 < 1.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
sumk=1^infty r^k = r1 - r
Aplicando isso, temos:
sumk=1^infty e^-k = e^-11 - e^-1 = 1e - 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda série: sumk=1^infty cos(k pi) e2^k. Observe que cos(k pi) pode ser simplificado para (-1)^k, já que cos(k pi) = (-1)^k.
Então, a série fica:
sumk=1^infty (-1)^k e2^k
Essa também é uma série geométrica, mas com razão r = -12.
Usando a mesma fórmula da série geométrica infinita, temos:
sumk=1^infty (-1)^k e2^k = -12 1 - (-12) cdot e = -13 e

Resposta

Somando as duas partes que calculamos:
sumk=1^infty[e^-k+cos (k pi) e2^k] = 1e - 1 - e3

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