Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de Séries Numéricas, especificamente o Teste de Comparação. Vamos precisar comparar nossa série com outra cuja convergência ou divergência já é conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor seu comportamento. Observe que:
Para
grande,
é pequeno, então podemos aproximar
. Assim, a expressão fica aproximadamente:
Passo 3
Sabemos que a série
é uma p-série com
, e como
, essa série é convergente.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando dentro do limite:
Portanto:
Passo 5
Como o limite é um número finito diferente de zero (
), pelo Teste de Comparação Limite, ambas as séries (a original e a p-série) têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Já que a p-série
é convergente, a nossa série original também é convergente.
Resposta
A série
é convergente.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Seja
um grupo e
. Defina: Índice de
em
.
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Calcule a soma da série
.