Determine se as séries são convergentes ou divergentes:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de Séries Numéricas, especificamente o Teste de Comparação. Vamos precisar comparar nossa série com outra cuja convergência ou divergência já é conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor seu comportamento. Observe que:
Para grande, é pequeno, então podemos aproximar . Assim, a expressão fica aproximadamente:

Passo 3

Sabemos que a série é uma p-série com , e como , essa série é convergente.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação Limite. Calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Simplificando dentro do limite:
Portanto:

Passo 5

Como o limite é um número finito diferente de zero ( ), pelo Teste de Comparação Limite, ambas as séries (a original e a p-série) têm o mesmo comportamento em termos de convergência. Já que a p-série é convergente, a nossa série original também é convergente.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Seja um grupo e . Defina: Índice de em .
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Calcule a soma da série .