Determine se as séries são convergentes ou divergentes:

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, adicionando 2 a tudo, temos:

Passo 3

Agora, vamos inverter essa desigualdade para encontrar como isso afeta o numerador da nossa fração, lembrando que quando invertemos uma desigualdade envolvendo números positivos, a direção da desigualdade se mantém:
Isso significa que cada termo da nossa série é pelo menos .

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série é uma série harmônica multiplicada por , ou seja:
Essa série é conhecida por ser divergente, pois a soma cresce sem limite.

Passo 5

Como cada termo da nossa série original é maior ou igual a , e a série diverge, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Calcule a soma da série .
Defina: (b) Grupo abeliano.