Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
sumk=1^infty 12+sen(k)

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumk=1^infty 12+sen(k) é convergente ou divergente. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: 2 + sen(k). Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, -1 <= sen(k) <= 1. Então, adicionando 2 a tudo, temos:
2 - 1 <= 2 + sen(k) <= 2 + 1 1 <= 2 + sen(k) <= 3

Passo 3

Agora, vamos inverter essa desigualdade para encontrar como isso afeta o numerador da nossa fração, lembrando que quando invertemos uma desigualdade envolvendo números positivos, a direção da desigualdade se mantém:
13 <= 12+sen(k) <= 1
Isso significa que cada termo da nossa série é pelo menos 13.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série sumk=1^infty 13 é uma série harmônica multiplicada por 13, ou seja:
sumk=1^infty 13 = 13 + 13 + 13 + dots
Essa série é conhecida por ser divergente, pois a soma cresce sem limite.

Passo 5

Como cada termo da nossa série original 12+sen(k) é maior ou igual a 13, e a série sum 13 diverge, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty 12+sen(k) é divergente.

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