Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e, mais especificamente, o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Então, adicionando 2 a tudo, temos:
Passo 3
Agora, vamos inverter essa desigualdade para encontrar como isso afeta o numerador da nossa fração, lembrando que quando invertemos uma desigualdade envolvendo números positivos, a direção da desigualdade se mantém:
Isso significa que cada termo da nossa série é pelo menos
.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série
é uma série harmônica multiplicada por
, ou seja:
Essa série é conhecida por ser divergente, pois a soma cresce sem limite.
Passo 5
Como cada termo da nossa série original
é maior ou igual a
, e a série
diverge, pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes justificando a classificação. Se forem convergentes, calcule sua soma.
Calcule a soma da série
.
Defina: (b) Grupo abeliano.