Defina: (b) Grupo abeliano.
Passo 1
Beleza, você quer definir o que é um grupo abeliano. Isso faz parte da matemática, mais especificamente da Teoria dos Grupos, que estuda conjuntos com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo e quais são as propriedades que tornam um grupo abeliano.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é um grupo. Em matemática, um grupo é um conjunto
acompanhado de uma operação
que combina dois elementos quaisquer
e
do grupo para formar outro elemento
também em
. Para isso ser considerado um grupo, a operação deve satisfazer quatro propriedades:
- Fechamento: Para todo
em , também está em . - Associatividade: Para todo
em , . - Elemento identidade: Existe um elemento
em tal que, para todo em , . - Elemento inverso: Para cada
em , existe um elemento em tal que , onde é a identidade.
Passo 3
Agora que sabemos o que é um grupo, vamos falar sobre o que torna um grupo abeliano. O termo “abeliano” é uma homenagem ao matemático Niels Henrik Abel, e refere-se a um grupo que possui uma propriedade extra chamada comutatividade.
Comutatividade significa que a ordem em que você combina os elementos não altera o resultado. Matematicamente, isso é expresso como:
para todo
em
.
Passo 4
Então, juntando tudo, um grupo abeliano é um grupo
que, além de satisfazer as quatro propriedades básicas de um grupo (fechamento, associatividade, identidade e inversos), também satisfaz a propriedade de comutatividade. Ou seja, para todo
em
:
Resposta
Um grupo abeliano é um grupo
que, além de satisfazer as propriedades de fechamento, associatividade, identidade e inversos, também cumpre a condição de comutatividade, ou seja, para todo
em
, temos
.
Exercícios relacionados
Calcule a soma da série
.
Determine se as séries são convergentes ou divergentes:
Defina: (a) Grupo.
Defina: © Subgrupo.