Defina: (a) Grupo.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente definir o que é um Grupo. Isso está dentro da matéria de Álgebra, mais especificamente em Teoria de Grupos. Para resolver, vamos entender os conceitos básicos que formam a definição de um grupo.

Passo 2

Então, um grupo é basicamente um conjunto de elementos que você pode combinar de maneira organizada. Para ser um grupo, esse conjunto precisa seguir algumas regras bem específicas, chamadas de axiomas.

Passo 3

O primeiro axioma é a fechamento. Isso significa que se você pegar qualquer dois elementos do grupo e combiná-los usando a operação definida (como soma ou multiplicação), o resultado também deve estar dentro do grupo.

Passo 4

O segundo axioma é a associatividade. Aqui, a ordem de como você agrupa os elementos não muda o resultado. Por exemplo, se você tiver três elementos , então .

Passo 5

O terceiro axioma é a existência de um elemento identidade. Esse é um elemento especial no grupo que, quando combinado com qualquer outro elemento, não muda esse elemento. Se a operação for soma, o identidade é 0; se for multiplicação, é 1.

Passo 6

O último axioma é a existência de inversos. Para cada elemento no grupo, deve existir outro elemento que, quando combinado com ele, retorna o elemento identidade. Por exemplo, se o elemento for 5 e a operação for soma, o inverso seria -5.

Resposta

Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz quatro condições: fechamento, associatividade, existência de um elemento identidade e existência de inversos para cada elemento. Em outras palavras, para todo :
  1. (Fechamento)
  2. (Associatividade)
  3. Existe um elemento tal que (Identidade)
  4. Para todo , existe um elemento tal que (Inverso)

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