Calcule o valor aproximado da integral
integral0^0.6 d x1+x
com três casas decimais de precisão usando a) Simpsom, b) Trapézios e c) ponto médio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^0.6 dx1+x
Estamos usando métodos numéricos para calcular integrais. Para isso, vamos precisar entender e aplicar três métodos diferentes: Regra de Simpson, Regra dos Trapézios e Regra do Ponto Médio. Cada um deles tem uma forma específica de aproximar o valor da integral.

Passo 2

Vamos começar com a Regra dos Trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios. Para um único trapézio, a fórmula é:
Trapézio = b - a2 [f(a) + f(b)] é
Aqui, f(0) = 11+0 = 1 , f(0.6) = 11+0.6 = 11.6 = 0.625 , e Trapézio = 0.6 - 02 (1 + 0.625) = 0.3 times 1.625 = 0.4875 .
Calculando:
Aplicando na fórmula:
é

Passo 3

Agora, vamos para a Regra do Ponto Médio. Essa regra usa o valor da função no ponto médio do intervalo para aproximar a área. A fórmula é:
Ponto Médio = (b - a) times f( a + b2 ) é
Usando os mesmos a + b2 = 0 + 0.62 = 0.3 e f(0.3) = 11 + 0.3 = 11.3 approx 0.7692 :
Ponto Médio = 0.6 times 0.7692 approx 0.4615
Calculando:
Aplicando na fórmula:
é

Passo 4

Por fim, vamos usar a Regra de Simpson. Essa regra é mais precisa e combina a Regra dos Trapézios com uma abordagem parabólica. A fórmula para um único segmento é:
Simpson = b - a6 [f(a) + 4f( a + b2 ) + f(b)]
Já temos os valores de f(0) = 1 , f(0.3) approx 0.7692 e f(0.6) = 0.625 :
Simpson = 0.66 (1 + 4 times 0.7692 + 0.625) = 0.1 times (1 + 3.0768 + 0.625) = 0.1 times 4.7018 = 0.4702
Aplicando na fórmula:

Resposta

Os valores aproximados da integral com três casas decimais são:
  • a) Regra de Simpson: 0.470
  • b) Regra dos Trapézios: 0.488
  • c) Regra do Ponto Médio: 0.462

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