Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. O que isso significa? Queremos encontrar os valores de
que fazem essa equação verdadeira. Vamos usar métodos numéricos para achar essas raízes com um erro menor que
. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções exponenciais e métodos de aproximação como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função envolvida:
. Para encontrar as raízes, precisamos descobrir onde essa função cruza o eixo
, ou seja, onde
.
Passo 3
Vamos tentar entender o comportamento da função. Calculando alguns valores:
-
Se
: -
Se
: -
Se
:
Vemos que a função muda de negativa para positiva entre
e
, indicando que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Vamos usar o Método da Bisseção para refinar nossa busca. Esse método funciona dividindo o intervalo em duas partes e escolhendo a subintervalo onde a função muda de sinal.
Iniciamos com
e
. Calculamos o ponto médio
.
Calculando
:
Como
e
, a raiz está entre
e
.
Passo 5
Continuamos o Método da Bisseção:
- Novo intervalo:
, - Ponto médio
- Calculando
:
Como
é negativo e
é positivo, a raiz está entre
e
.
Passo 6
Continuando:
-
, -
-
Agora,
é positivo, então a raiz está entre
e
.
Passo 7
Mais uma iteração:
-
, -
-
Como
é positivo, a raiz está entre
e
.
Passo 8
Continuando:
-
, -
-
Agora,
é positivo, então a raiz está entre
e
.
Passo 9
Outra iteração:
-
, -
-
Como
é negativo, a raiz está entre
e
.
Passo 10
Vamos refinar mais:
-
, -
-
Agora,
é positivo, então a raiz está entre
e
.
Passo 11
Ainda refinando:
-
, -
-
Como
é negativo, a raiz está entre
e
.
Passo 12
Continuando com mais detalhes até alcançar a precisão desejada:
Após várias iterações do Método da Bisseção, refinamos o intervalo entre
e
até que a diferença entre
e
seja menor que
. O processo continua dividindo o intervalo e verificando o sinal da função em cada ponto médio, aproximando-nos cada vez mais da raiz com a precisão requerida.
Resposta
A raiz da equação
com erro menor que
é aproximadamente
.
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Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
Equação:
Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que
, através de diversos métodos.
Equação:
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Calcule o valor aproximado da integral
com três casas decimais de precisão usando a) Simpsom, b) Trapézios e c) ponto médio.
Seja
e a tabela abaixo:
|
0,5 | 0,6 | 0,7 |
---|---|---|---|
|
0,67957 | 1,19524 | 1,98704 |
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.