Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . O que isso significa? Queremos encontrar os valores de que fazem essa equação verdadeira. Vamos usar métodos numéricos para achar essas raízes com um erro menor que . Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções exponenciais e métodos de aproximação como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função envolvida: . Para encontrar as raízes, precisamos descobrir onde essa função cruza o eixo , ou seja, onde .

Passo 3

Vamos tentar entender o comportamento da função. Calculando alguns valores:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Vemos que a função muda de negativa para positiva entre e , indicando que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Vamos usar o Método da Bisseção para refinar nossa busca. Esse método funciona dividindo o intervalo em duas partes e escolhendo a subintervalo onde a função muda de sinal.
Iniciamos com e . Calculamos o ponto médio .
Calculando :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 5

Continuamos o Método da Bisseção:
  • Novo intervalo: ,
  • Ponto médio
  • Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e .

Passo 6

Continuando:
  • ,
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .

Passo 7

Mais uma iteração:
  • ,
Como é positivo, a raiz está entre e .

Passo 8

Continuando:
  • ,
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .

Passo 9

Outra iteração:
  • ,
Como é negativo, a raiz está entre e .

Passo 10

Vamos refinar mais:
  • ,
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .

Passo 11

Ainda refinando:
  • ,
Como é negativo, a raiz está entre e .

Passo 12

Continuando com mais detalhes até alcançar a precisão desejada:
Após várias iterações do Método da Bisseção, refinamos o intervalo entre e até que a diferença entre e seja menor que . O processo continua dividindo o intervalo e verificando o sinal da função em cada ponto médio, aproximando-nos cada vez mais da raiz com a precisão requerida.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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Calcule o valor aproximado da integral
com três casas decimais de precisão usando a) Simpsom, b) Trapézios e c) ponto médio.
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.