Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que 1 0^-6, através de diversos métodos.
Equação: (x-1) e^-x+e^x-6=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação (x-1)e^-x + e^x -6 = 0. O que isso significa? Queremos encontrar os valores de que fazem essa equação verdadeira. Vamos usar métodos numéricos para achar essas raízes com um erro menor que . Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre funções exponenciais e métodos de aproximação como o Método de Newton-Raphson e o Método da Bisseção.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função envolvida: . Para encontrar as raízes, precisamos descobrir onde essa função cruza o eixo , ou seja, onde .

Passo 3

Vamos tentar entender o comportamento da função. Calculando alguns valores:
  • Se f(0) = (0-1)e^0 + e^0 -6 = (-1)(1) + 1 -6 = -1 + 1 -6 = -6 :
    f(1) = (1-1)e^-1 + e^1 -6 = 0 + e -6 approx 2,718 -6 = -3,282
  • Se f(2) = (2-1)e^-2 + e^2 -6 = 1 cdot 0,1353 + 7,389 -6 approx 0,1353 + 7,389 -6 = 1,5243 :
  • Se :
Vemos que a função muda de negativa para positiva entre e , indicando que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Vamos usar o Método da Bisseção para refinar nossa busca. Esse método funciona dividindo o intervalo em duas partes e escolhendo a subintervalo onde a função muda de sinal.
Iniciamos com f(1,5) = (1,5-1)e^-1,5 + e^1,5 -6 approx 0,5 cdot 0,2231 + 4,4817 -6 approx 0,1116 + 4,4817 -6 = -1,4067 e . Calculamos o ponto médio .
Calculando :
Como e , a raiz está entre e .

Passo 5

Continuamos o Método da Bisseção:
  • Novo intervalo: f(1,75) = (1,75-1)e^-1,75 + e^1,75 -6 approx 0,75 cdot 0,1738 + 5,7546 -6 approx 0,1303 + 5,7546 -6 = -0,1151 ,
  • Ponto médio
  • Calculando :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e .

Passo 6

Continuando:
  • ,
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .

Passo 7

Mais uma iteração:
  • ,
Como é positivo, a raiz está entre e .

Passo 8

Continuando:
  • ,
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .

Passo 9

Outra iteração:
  • ,
Como é negativo, a raiz está entre e .

Passo 10

Vamos refinar mais:
  • ,
Agora, é positivo, então a raiz está entre e .

Passo 11

Ainda refinando:
  • ,
Como é negativo, a raiz está entre e .

Passo 12

Continuando com mais detalhes até alcançar a precisão desejada:
Após várias iterações do Método da Bisseção, refinamos o intervalo entre e até que a diferença entre e seja menor que . O processo continua dividindo o intervalo e verificando o sinal da função em cada ponto médio, aproximando-nos cada vez mais da raiz com a precisão requerida.

Resposta

A raiz da equação com erro menor que é aproximadamente .

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