Seja
e a tabela abaixo:
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0,5 | 0,6 | 0,7 |
---|---|---|---|
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0,67957 | 1,19524 | 1,98704 |
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para estimar o valor de
usando um polinômio interpolador. A função dada é
e temos uma tabela com valores de
e
para
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar a interpolação polinomial, especificamente o polinômio de Lagrange, que ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. A interpolação polinomial é uma técnica usada para estimar valores de uma função entre os pontos conhecidos. O polinômio de Lagrange é uma forma eficiente de construir esse polinômio usando os pontos que já conhecemos.
Passo 3
No polinômio de Lagrange, construímos funções base que são iguais a 1 em um ponto específico e 0 nos outros. Para os nossos pontos
,
e
, as funções base
,
e
são dadas por:
Passo 4
Vamos calcular cada função base nos nossos pontos:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, o polinômio interpolador
é a soma dos produtos de cada função base
pelo valor correspondente
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos agora calcular
. Primeiro, substituímos
nas funções base:
Passo 7
Agora, multiplicamos cada
pelo respectivo
e somamos:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:
Resposta
O valor estimado de
usando o polinômio interpolador é aproximadamente 0,9029.
Exercícios relacionados
Seja
e a tabela abaixo:
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0,5 | 0,6 | 0,7 |
---|---|---|---|
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0,67957 | 1,19524 | 1,98704 |
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.
Calcule o valor aproximado da integral
com três casas decimais de precisão usando a) Simpsom, b) Trapézios e c) ponto médio.
Seja
e a tabela abaixo:
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0,5 | 0,6 | 0,7 |
---|---|---|---|
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0,67957 | 1,19524 | 1,98704 |
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.
Seja
e a tabela abaixo:
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0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
---|---|---|---|---|
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0,67957 | 1,19524 | 1,98704 | 3,16994 |
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.