Seja f(x)=x^2 e^2 x e a tabela abaixo:
x 0,5 0,6 0,7
f(x) 0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de f(0,55).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para estimar o valor de usando um polinômio interpolador. A função dada é e temos uma tabela com valores de e para , e . Para resolver isso, vamos precisar usar a interpolação polinomial, especificamente o polinômio de Lagrange, que ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. A interpolação polinomial é uma técnica usada para estimar valores de uma função entre os pontos conhecidos. O polinômio de Lagrange é uma forma eficiente de construir esse polinômio usando os pontos que já conhecemos.

Passo 3

No polinômio de Lagrange, construímos funções base que são iguais a 1 em um ponto específico e 0 nos outros. Para os nossos pontos L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) , L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) e L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) , as funções base , e são dadas por:

Passo 4

Vamos calcular cada função base nos nossos pontos:
Para L0(x) = (x - 0,6)(x - 0,7)(0,5 - 0,6)(0,5 - 0,7) = (x - 0,6)(x - 0,7)(-0,1)(-0,2) = (x - 0,6)(x - 0,7)0,02 :
L1(x) = (x - 0,5)(x - 0,7)(0,6 - 0,5)(0,6 - 0,7) = (x - 0,5)(x - 0,7)(0,1)(-0,1) = (x - 0,5)(x - 0,7)-0,01
Para L2(x) = (x - 0,5)(x - 0,6)(0,7 - 0,5)(0,7 - 0,6) = (x - 0,5)(x - 0,6)(0,2)(0,1) = (x - 0,5)(x - 0,6)0,02 :
Para :

Passo 5

Agora, o polinômio interpolador P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) é a soma dos produtos de cada função base P(x) = 0,67957 cdot L0(x) + 1,19524 cdot L1(x) + 1,98704 cdot L2(x) pelo valor correspondente :
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos agora calcular L0(0,55) = (0,55 - 0,6)(0,55 - 0,7)0,02 = (-0,05)(-0,15)0,02 = 0,00750,02 = 0,375 . Primeiro, substituímos L1(0,55) = (0,55 - 0,5)(0,55 - 0,7)-0,01 = (0,05)(-0,15)-0,01 = -0,0075-0,01 = 0,75 nas funções base:
L2(0,55) = (0,55 - 0,5)(0,55 - 0,6)0,02 = (0,05)(-0,05)0,02 = -0,00250,02 = -0,125

Passo 7

Agora, multiplicamos cada P(0,55) = 0,67957 cdot 0,375 + 1,19524 cdot 0,75 + 1,98704 cdot (-0,125) pelo respectivo 0,67957 cdot 0,375 = 0,2548575 e somamos:
1,19524 cdot 0,75 = 0,89643
Calculando cada termo:
1,98704 cdot (-0,125) = -0,24838
P(0,55) = 0,2548575 + 0,89643 - 0,24838 = 0,9029075
Somando esses valores:

Resposta

O valor estimado de usando o polinômio interpolador é aproximadamente 0,9029.

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