Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para estimar o valor de usando um polinômio interpolador. A função dada é e temos uma tabela com valores de e para , e . Para resolver isso, vamos precisar usar a interpolação polinomial, especificamente o polinômio de Lagrange, que ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio interpolador. A interpolação polinomial é uma técnica usada para estimar valores de uma função entre os pontos conhecidos. O polinômio de Lagrange é uma forma eficiente de construir esse polinômio usando os pontos que já conhecemos.

Passo 3

No polinômio de Lagrange, construímos funções base que são iguais a 1 em um ponto específico e 0 nos outros. Para os nossos pontos , e , as funções base , e são dadas por:

Passo 4

Vamos calcular cada função base nos nossos pontos:
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, o polinômio interpolador é a soma dos produtos de cada função base pelo valor correspondente :
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos agora calcular . Primeiro, substituímos nas funções base:

Passo 7

Agora, multiplicamos cada pelo respectivo e somamos:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:

Resposta

O valor estimado de usando o polinômio interpolador é aproximadamente 0,9029.

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Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.
Calcule o valor aproximado da integral
com três casas decimais de precisão usando a) Simpsom, b) Trapézios e c) ponto médio.
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7 0,8
0,67957 1,19524 1,98704 3,16994
Tabela 2: Tabela do Exercício 2
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 3 que interpola os pontos da Tabela 2.