Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um polinômio de grau 2 que passe pelos pontos da Tabela 1. Isso envolve polinômios interpoladores, especificamente um polinômio quadrático. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar como montar um sistema de equações usando os pontos dados e depois resolver esse sistema para achar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a forma geral de um polinômio de grau 2, que é:
Aqui, a, b e c são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos da tabela para montar um sistema de equações. Para cada ponto , substituímos na equação do polinômio:
  1. Para e :
  1. Para e :
  1. Para e :

Passo 4

Vamos simplificar as equações:
  1. , então:
  1. , então:
  1. , então:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vamos usar a eliminação para simplificar.
Primeiro, vamos subtrair a equação (1) da equação (2):
Isso resulta em:
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (3):
Isso resulta em:

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações:
Vamos subtrair a equação (4) da equação (5):
Isso resulta em:
Então:

Passo 7

Agora que temos o valor de a, vamos substituir na equação (4) para encontrar b:
Calculando:
Subtraindo 1,518715 dos dois lados:
Então:

Passo 8

Agora que temos a e b, vamos encontrar c usando a equação (1):
Calculando:
Então:

Resposta

O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1 é:

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Obter as raízes das equações, considerando o erro menor que , através de diversos métodos.
Equação:
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
b) Utilize o polinômio interpolador para estimar o valor de .
Seja e a tabela abaixo:
0,5 0,6 0,7
0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
d) Encontre uma expressão para o erro de truncamento.