Seja f(x)=x^2 e^2 x e a tabela abaixo:
x 0,5 0,6 0,7
f(x) 0,67957 1,19524 1,98704
Tabela 1: Tabela do Exercício 1
Faça o que se pede:
a) Encontre o polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um polinômio de grau 2 que passe pelos pontos da Tabela 1. Isso envolve polinômios interpoladores, especificamente um polinômio quadrático. Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar como montar um sistema de equações usando os pontos dados e depois resolver esse sistema para achar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a forma geral de um polinômio de grau 2, que é:
P(x) = a x^2 + b x + c
Aqui, a, b e c são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos da tabela para montar um sistema de equações. Para cada ponto (xi, f(xi)), substituímos na equação do polinômio:
  1. Para x = 0,5 e f(x) = 0,67957:
a (0,5)^2 + b (0,5) + c = 0,67957
  1. Para x = 0,6 e f(x) = 1,19524:
a (0,6)^2 + b (0,6) + c = 1,19524
  1. Para x = 0,7 e f(x) = 1,98704:
a (0,7)^2 + b (0,7) + c = 1,98704

Passo 4

Vamos simplificar as equações:
  1. (0,5)^2 = 0,25, então:
0,25a + 0,5b + c = 0,67957 (1)
  1. (0,6)^2 = 0,36, então:
0,36a + 0,6b + c = 1,19524 (2)
  1. (0,7)^2 = 0,49, então:
0,49a + 0,7b + c = 1,98704 (3)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vamos usar a eliminação para simplificar.
Primeiro, vamos subtrair a equação (1) da equação (2):
(0,36a - 0,25a) + (0,6b - 0,5b) + (c - c) = 1,19524 - 0,67957
Isso resulta em:
0,11a + 0,1b = 0,51567 (4)
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (3):
(0,49a - 0,36a) + (0,7b - 0,6b) + (c - c) = 1,98704 - 1,19524
Isso resulta em:
0,13a + 0,1b = 0,7918 (5)

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações:
0,11a + 0,1b = 0,51567 (4) 0,13a + 0,1b = 0,7918 (5)
Vamos subtrair a equação (4) da equação (5):
(0,13a - 0,11a) + (0,1b - 0,1b) = 0,7918 - 0,51567
Isso resulta em:
0,02a = 0,27613
Então:
a = 0,276130,02 = 13,8065

Passo 7

Agora que temos o valor de a, vamos substituir na equação (4) para encontrar b:
0,11 times 13,8065 + 0,1b = 0,51567
Calculando:
1,518715 + 0,1b = 0,51567
Subtraindo 1,518715 dos dois lados:
0,1b = -1,003045
Então:
b = -1,0030450,1 = -10,03045

Passo 8

Agora que temos a e b, vamos encontrar c usando a equação (1):
0,25 times 13,8065 + 0,5 times (-10,03045) + c = 0,67957
Calculando:
3,451625 - 5,015225 + c = 0,67957
-1,5636 + c = 0,67957
Então:
c = 0,67957 + 1,5636 = 2,24317

Resposta

O polinômio de grau 2 que interpola os pontos da Tabela 1 é:
P(x) = 13,8065,x^2 - 10,03045,x + 2,24317

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