Sendo f(x)=e^x-1 e considerando a segunda regra de Simpson pede-se:
(b) Determinar o número mínimo de intervalos necessários para avaliar esta integral com erro de truncamento máximo 10^-10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a segunda regra de Simpson para calcular uma integral da função , e descobrir qual o número mínimo de intervalos que a gente precisa dividir o intervalo de integração para que o erro de truncamento não passe de . Basicamente, vamos usar conhecimentos de cálculo numérico, mais especificamente sobre a regra de Simpson e como estimar o erro dela.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do erro para a regra de Simpson. O erro absoluto |E| <= M(b - a)^5180n^4 na regra de Simpson é dado por:
Aqui:
  • é o valor máximo da derivada quarta de no intervalo .
  • e são os limites de integração.
  • é o número de intervalos (que deve ser par).
Nosso objetivo é encontrar o menor tal que .

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar a derivada quarta de f'(x) = e^x . Vamos derivar:
f''(x) = e^x
f'''(x) = e^x
f''''(x) = e^x
Então, a derivada quarta é . O máximo valor de no intervalo é , já que é uma função crescente. Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a fórmula do erro para resolver M(b - a)^5180n^4 <= 10^-10 :
n^4 >= M(b - a)^5180 times 10^-10
Isolando n >= ( M(b - a)^5180 times 10^-10 )^1/4 :

Passo 5

Para calcular n >= ( e^1 times 1^5180 times 10^-10 )^1/4 = ( e180 times 10^-10 )^1/4 , precisamos saber os valores de e , ou seja, os limites de integração. Vamos supor que o intervalo de integração seja de até (você pode ajustar conforme o enunciado específico).
Então, , e .
Substituindo os valores:

Passo 6

Calculando os valores numéricos:
e approx 2,71828
e180 times 10^-10 = 2,71828180 times 10^-10 approx 1,509044 times 10^7
n >= (1,509044 times 10^7)^1/4 approx 36,3

Passo 7

Como precisa ser um número par e inteiro, arredondamos para cima. Então, o número mínimo de intervalos é .

Resposta

O número mínimo de intervalos necessários é 38.

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