Sendo
e considerando a segunda regra de Simpson pede-se:
(b) Determinar o número mínimo de intervalos necessários para avaliar esta integral com erro de truncamento máximo
(b) Determinar o número mínimo de intervalos necessários para avaliar esta integral com erro de truncamento máximo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a segunda regra de Simpson para calcular uma integral da função
, e descobrir qual o número mínimo de intervalos que a gente precisa dividir o intervalo de integração para que o erro de truncamento não passe de
. Basicamente, vamos usar conhecimentos de cálculo numérico, mais especificamente sobre a regra de Simpson e como estimar o erro dela.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do erro para a regra de Simpson. O erro absoluto
na regra de Simpson é dado por:
Aqui:
-
é o valor máximo da derivada quarta de no intervalo . -
e são os limites de integração. -
é o número de intervalos (que deve ser par).
Nosso objetivo é encontrar o menor
tal que
.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar a derivada quarta de
. Vamos derivar:
Então, a derivada quarta é
. O máximo valor de
no intervalo
é
, já que
é uma função crescente. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a fórmula do erro para resolver
:
Isolando
:
Passo 5
Para calcular
, precisamos saber os valores de
e
, ou seja, os limites de integração. Vamos supor que o intervalo de integração seja de
até
(você pode ajustar conforme o enunciado específico).
Então,
, e
.
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando os valores numéricos:
Passo 7
Como
precisa ser um número par e inteiro, arredondamos para cima. Então, o número mínimo de intervalos é
.
Resposta
O número mínimo de intervalos necessários é 38.
Exercícios relacionados
Avalie
pela primeira regra de Simpson e com o número de subintervalos
e 8 .
Seja a função
.
© Calcular utilizando a primeira regra de Simpson com
subintervalos.
© Calcular
Calcule o valor da integral
(e) Calcule o erro cometido pelos três métodos utilizados com base no resultado obtido na letra a).
(e) Calcule o erro cometido pelos três métodos utilizados com base no resultado obtido na letra a).
Seja a função
.
(a) Encontre o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos de abcissas e 1.
(a) Encontre o polinômio de Diferenças Divididas de grau 2 que passa pelos pontos de abcissas