Use as iterações do item anterior para calcular com precisão e usando a aproximação inicial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a raiz quadrada de 11 usando um método de iteração, começando com uma aproximação inicial de . Vamos precisar entender sobre métodos iterativos, especificamente o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton-Raphson. Esse método nos ajuda a encontrar aproximações sucessivas para as raízes de uma função. No caso da raiz quadrada de 11, queremos resolver . Podemos reescrever isso como , e queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

A fórmula de atualização do método de Newton-Raphson é:
Onde é a derivada de . Para nossa função , a derivada é .

Passo 4

Substituindo e na fórmula, temos:
Simplificando:
Essa é a fórmula que vamos usar para as iterações.

Passo 5

Começamos com a aproximação inicial . Agora, vamos calcular as próximas aproximações até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor ou igual a 0,0001.

Passo 6

Primeira iteração ( ):
Diferença: (maior que 0,0001)

Passo 7

Segunda iteração ( ):
Diferença: (maior que 0,0001)

Passo 8

Terceira iteração ( ):
Diferença: (maior que 0,0001)

Passo 9

Quarta iteração ( ):
Diferença: (menor ou igual a 0,0001)

Resposta

A raiz quadrada de 11, aproximada com a precisão solicitada, é .

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