Use as iterações do item anterior para calcular raiz11 com precisão |xk+1-xk| <= 0.0001 e usando a aproximação inicial x0=5,5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a raiz quadrada de 11 usando um método de iteração, começando com uma aproximação inicial de . Vamos precisar entender sobre métodos iterativos, especificamente o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton-Raphson. Esse método nos ajuda a encontrar aproximações sucessivas para as raízes de uma função. No caso da raiz quadrada de 11, queremos resolver . Podemos reescrever isso como , e queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

A fórmula de atualização do método de Newton-Raphson é:
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk)
Onde é a derivada de . Para nossa função , a derivada é .

Passo 4

Substituindo xk+1 = xk - xk^2 - 112xk e xk+1 = xk + 11xk2 na fórmula, temos:
Simplificando:
Essa é a fórmula que vamos usar para as iterações.

Passo 5

Começamos com a aproximação inicial . Agora, vamos calcular as próximas aproximações até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor ou igual a 0,0001.

Passo 6

Primeira iteração ( x1 = 5,5 + 115,52 = 5,5 + 22 = 7,52 = 3,75 ):
Diferença: (maior que 0,0001)

Passo 7

Segunda iteração ( x2 = 3,75 + 113,752 = 3,75 + 2,93332 = 6,68332 = 3,34165 ):
Diferença: (maior que 0,0001)

Passo 8

Terceira iteração ( x3 = 3,34165 + 113,341652 approx 3,34165 + 3,29142 approx 6,633052 approx 3,316525 ):
Diferença: (maior que 0,0001)

Passo 9

Quarta iteração ( x4 = 3,316525 + 113,3165252 approx 3,316525 + 3,3163292 approx 6,6328542 approx 3,316427 ):
Diferença: (menor ou igual a 0,0001)

Resposta

A raiz quadrada de 11, aproximada com a precisão solicitada, é .

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