Use as iterações do item anterior para calcular
com precisão
e usando a aproximação inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a raiz quadrada de 11 usando um método de iteração, começando com uma aproximação inicial de
. Vamos precisar entender sobre métodos iterativos, especificamente o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o método de Newton-Raphson. Esse método nos ajuda a encontrar aproximações sucessivas para as raízes de uma função. No caso da raiz quadrada de 11, queremos resolver
. Podemos reescrever isso como
, e queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
A fórmula de atualização do método de Newton-Raphson é:
Onde
é a derivada de
. Para nossa função
, a derivada é
.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Simplificando:
Essa é a fórmula que vamos usar para as iterações.
Passo 5
Começamos com a aproximação inicial
. Agora, vamos calcular as próximas aproximações até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor ou igual a 0,0001.
Passo 6
Primeira iteração (
):
Diferença:
(maior que 0,0001)
Passo 7
Segunda iteração (
):
Diferença:
(maior que 0,0001)
Passo 8
Terceira iteração (
):
Diferença:
(maior que 0,0001)
Passo 9
Quarta iteração (
):
Diferença:
(menor ou igual a 0,0001)
Resposta
A raiz quadrada de 11, aproximada com a precisão solicitada, é
.