Calcule o volume e área de superfície de um cone reto, cujo raio da base é r e a altura é h, que foi cortado por um plano paralelo a sua base na altura h0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume e a área de superfície de um cone reto que foi cortado por um plano paralelo à base. A gente vai usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre cones e cones truncados. Para resolver isso, vamos precisar entender como as medidas do cone original se relacionam com as do cone cortado e aplicar fórmulas de volume e área de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes do cone original e do cone cortado. O cone original tem raio da base r e altura h. Quando cortamos o cone por um plano paralelo à base na altura h0, formamos um cone menor no topo e um cilindro com base menor na parte inferior. Mas na verdade, permanecemos com dois cones: o cone original e o cone menor que foi cortado.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da base do cone menor que foi cortado. Como o corte é paralelo à base, os triângulos formados pelas alturas e raios são semelhantes. Então, podemos usar a proporção:
r'h0 = rh
Resolvendo para r':
r' = r cdot h0h

Passo 4

Com o raio do cone menor ( r') encontrado, podemos calcular o volume do cone truncado. A fórmula para o volume de um cone truncado é:
V = 13 pi h (r^2 + r r' + r'^2)
Substituindo r' pela expressão que encontramos:
V = 13 pi h (r^2 + r cdot r h0h + (r h0h)^2)

Passo 5

Simplificando a expressão do volume:
V = 13 pi h (r^2 + r^2 h0h + r^2 h0^2h^2)
V = 13 pi r^2 h (1 + h0h + (h0h)^2)

Passo 6

Agora, vamos calcular a área de superfície do cone truncado. A área de superfície é composta pela área das duas bases e pela área lateral. A área das bases são:
Abase grande = pi r^2
Abase pequena = pi r'^2 = pi (r h0h)^2

Passo 7

A área lateral de um cone truncado é dada por:
Alateral = pi (r + r') l
Onde l é a geratriz do cone truncado. Podemos calcular l usando o teorema de Pitágoras:
l = raizh^2 - (h - h0)^2 = raizh^2 - h^2 + 2 h h0 - h0^2 = raiz2 h h0 - h0^2

Passo 8

Substituindo r' e l na fórmula da área lateral:
Alateral = pi (r + r h0h) raiz2 h h0 - h0^2

Passo 9

Finalmente, a área de superfície total do cone truncado é a soma das áreas das duas bases e da área lateral:
Atotal = Abase grande + Abase pequena + Alateral
Atotal = pi r^2 + pi (r h0h)^2 + pi (r + r h0h) raiz2 h h0 - h0^2

Resposta

O volume do cone truncado é dado por:
V = 13 pi r^2 h (1 + h0h + (h0h)^2)
E a área de superfície total é:
Atotal = pi r^2 + pi (r h0h)^2 + pi (r + r h0h) raiz2 h h0 - h0^2

Exercícios relacionados