Calcule o volume e área de superfície de um cone reto, cujo raio da base é e a altura é , que foi cortado por um plano paralelo a sua base na altura .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume e a área de superfície de um cone reto que foi cortado por um plano paralelo à base. A gente vai usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre cones e cones truncados. Para resolver isso, vamos precisar entender como as medidas do cone original se relacionam com as do cone cortado e aplicar fórmulas de volume e área de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes do cone original e do cone cortado. O cone original tem raio da base e altura . Quando cortamos o cone por um plano paralelo à base na altura , formamos um cone menor no topo e um cilindro com base menor na parte inferior. Mas na verdade, permanecemos com dois cones: o cone original e o cone menor que foi cortado.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da base do cone menor que foi cortado. Como o corte é paralelo à base, os triângulos formados pelas alturas e raios são semelhantes. Então, podemos usar a proporção:
Resolvendo para :

Passo 4

Com o raio do cone menor ( ) encontrado, podemos calcular o volume do cone truncado. A fórmula para o volume de um cone truncado é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Simplificando a expressão do volume:

Passo 6

Agora, vamos calcular a área de superfície do cone truncado. A área de superfície é composta pela área das duas bases e pela área lateral. A área das bases são:

Passo 7

A área lateral de um cone truncado é dada por:
Onde é a geratriz do cone truncado. Podemos calcular usando o teorema de Pitágoras:

Passo 8

Substituindo e na fórmula da área lateral:

Passo 9

Finalmente, a área de superfície total do cone truncado é a soma das áreas das duas bases e da área lateral:

Resposta

O volume do cone truncado é dado por:
E a área de superfície total é:

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