Calcule o volume e área de superfície de um cone reto, cujo raio da base é
e a altura é
, que foi cortado por um plano paralelo a sua base na altura
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume e a área de superfície de um cone reto que foi cortado por um plano paralelo à base. A gente vai usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre cones e cones truncados. Para resolver isso, vamos precisar entender como as medidas do cone original se relacionam com as do cone cortado e aplicar fórmulas de volume e área de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes do cone original e do cone cortado. O cone original tem raio da base
e altura
. Quando cortamos o cone por um plano paralelo à base na altura
, formamos um cone menor no topo e um cilindro com base menor na parte inferior. Mas na verdade, permanecemos com dois cones: o cone original e o cone menor que foi cortado.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o raio da base do cone menor que foi cortado. Como o corte é paralelo à base, os triângulos formados pelas alturas e raios são semelhantes. Então, podemos usar a proporção:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com o raio do cone menor (
) encontrado, podemos calcular o volume do cone truncado. A fórmula para o volume de um cone truncado é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão do volume:
Passo 6
Agora, vamos calcular a área de superfície do cone truncado. A área de superfície é composta pela área das duas bases e pela área lateral. A área das bases são:
Passo 7
A área lateral de um cone truncado é dada por:
Onde
é a geratriz do cone truncado. Podemos calcular
usando o teorema de Pitágoras:
Passo 8
Substituindo
e
na fórmula da área lateral:
Passo 9
Finalmente, a área de superfície total do cone truncado é a soma das áreas das duas bases e da área lateral:
Resposta
O volume do cone truncado é dado por:
E a área de superfície total é:
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, área lateral
e área total
, vale:
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.
Calcule o volume e área de superfície de um cone reto, cujo raio da base é
e a altura é
, que foi cortado ao meio por um plano que é perpendicular à sua base e passa pelo centro da base.