Calcule o volume e área de superfície de um cone reto, cujo raio da base é e a altura é , que foi cortado ao meio por um plano que é perpendicular à sua base e passa pelo centro da base.

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos um cone reto com raio da base e altura . Esse cone foi cortado ao meio por um plano que é perpendicular à base e passa pelo centro dela. Nosso objetivo é calcular o volume e a área de superfície dessa metade do cone. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do volume e da área de superfície de um cone, além de entender como um corte perpendicular afeta essas medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o corte afeta o cone. Quando cortamos o cone com um plano perpendicular à base passando pelo centro, estamos dividindo o cone em duas partes iguais: uma pequena cone no topo e uma porção maior abaixo, que chamamos de tronco de cone ou frustração. Como o corte passa pelo centro da base, a altura de cada parte será a metade da altura original do cone.

Passo 3

Vamos calcular o volume da metade do cone, que é a pequena cone no topo. A fórmula do volume de um cone é:
Como a altura da pequena cone é metade da altura original, ou seja, , e o raio também será metade, (porque os cones são semelhantes), substitu��mos na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de superfície da metade do cone. A área de superfície de um cone é composta pela área da base mais a área lateral. A fórmula é:
Onde é a geratriz do cone, que pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Para a pequena cone, a geratriz será:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da área de superfície da pequena cone:

Resposta

Então, o volume da metade do cone é:
E a área de superfície dessa metade do cone é:

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