Calcule o volume e área de superfície de um cone reto, cujo raio da base é
e a altura é
, que foi cortado ao meio por um plano que é perpendicular à sua base e passa pelo centro da base.
Passo 1
Beleza! Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos um cone reto com raio da base
e altura
. Esse cone foi cortado ao meio por um plano que é perpendicular à base e passa pelo centro dela. Nosso objetivo é calcular o volume e a área de superfície dessa metade do cone. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do volume e da área de superfície de um cone, além de entender como um corte perpendicular afeta essas medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o corte afeta o cone. Quando cortamos o cone com um plano perpendicular à base passando pelo centro, estamos dividindo o cone em duas partes iguais: uma pequena cone no topo e uma porção maior abaixo, que chamamos de tronco de cone ou frustração. Como o corte passa pelo centro da base, a altura de cada parte será a metade da altura original do cone.
Passo 3
Vamos calcular o volume da metade do cone, que é a pequena cone no topo. A fórmula do volume de um cone é:
Como a altura da pequena cone é metade da altura original, ou seja,
, e o raio também será metade,
(porque os cones são semelhantes), substitu��mos na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de superfície da metade do cone. A área de superfície de um cone é composta pela área da base mais a área lateral. A fórmula é:
Onde
é a geratriz do cone, que pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Para a pequena cone, a geratriz
será:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da área de superfície da pequena cone:
Resposta
Então, o volume da metade do cone é:
E a área de superfície dessa metade do cone é:
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Sabendo que o preço do ouro é 468,64 reais por grama. Calcule o preço de Um cilindro reto, de material de preço desprezível, de 1 cm de base e 2 cm de altura banhando a ouro, onde a espessura do banho de ouro é de
.
Calcule o volume e área de superfície de um cone reto, cujo raio da base é
e a altura é
, que foi cortado por um plano paralelo a sua base na altura
.
Encontre a área de superfícies de uma esfera de raio
que foi cortada ao meio.
Mostre que a interseção entre um plano e uma esfera é vazia, um ponto ou um círculo.