Mostre que a interseção entre um plano e uma esfera é vazia, um ponto ou um círculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a interseção entre um plano e uma esfera pode ser vazia, um ponto ou um círculo. Isso envolve geometria analítica, onde a gente vai usar equações de planos e esferas e entender como eles se relacionam no espaço. Vamos precisar lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano e entender as condições para que duas figuras geométricas se cruzem de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações gerais de um plano e de uma esfera.
A equação de um plano pode ser escrita como:
E a equação de uma esfera com centro em e raio é:

Passo 3

Agora, para entender como esses dois se intersectam, precisamos calcular a distância entre o centro da esfera e o plano. Essa distância ( ) é dada pela fórmula:

Passo 4

Com a distância calculada, podemos comparar com o raio da esfera para determinar a natureza da interseção:
  1. Se : A distância entre o centro da esfera e o plano é maior que o raio, então o plano não toca a esfera. Interseção vazia.
  2. Se : A distância é exatamente igual ao raio, então o plano toca a esfera em apenas um ponto. Interseção em um ponto.
  3. Se : A distância é menor que o raio, então o plano corta a esfera formando um círculo. Interseção em um círculo.

Resposta

Assim, mostramos que a interseção entre um plano e uma esfera pode ser vazia, um único ponto ou um círculo, dependendo da relação entre a distância do centro da esfera ao plano e o raio da esfera.

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