Mostre que a interseção entre um plano e uma esfera é vazia, um ponto ou um círculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a interseção entre um plano e uma esfera pode ser vazia, um ponto ou um círculo. Isso envolve geometria analítica, onde a gente vai usar equações de planos e esferas e entender como eles se relacionam no espaço. Vamos precisar lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano e entender as condições para que duas figuras geométricas se cruzem de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações gerais de um plano e de uma esfera.
A equação de um plano pode ser escrita como:
E a equação de uma esfera com centro em
e raio
é:
Passo 3
Agora, para entender como esses dois se intersectam, precisamos calcular a distância entre o centro da esfera e o plano. Essa distância (
) é dada pela fórmula:
Passo 4
Com a distância calculada, podemos comparar
com o raio
da esfera para determinar a natureza da interseção:
-
Se
: A distância entre o centro da esfera e o plano é maior que o raio, então o plano não toca a esfera. Interseção vazia. -
Se
: A distância é exatamente igual ao raio, então o plano toca a esfera em apenas um ponto. Interseção em um ponto. -
Se
: A distância é menor que o raio, então o plano corta a esfera formando um círculo. Interseção em um círculo.
Resposta
Assim, mostramos que a interseção entre um plano e uma esfera pode ser vazia, um único ponto ou um círculo, dependendo da relação entre a distância do centro da esfera ao plano e o raio da esfera.