No cálculo da raiz positiva de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual das funções de iteração acima converge para a raiz. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve encontrar a raiz positiva da função
usando o método de ponto fixo, também conhecido como método da iteração linear. Nesse método, a gente transforma a equação original em uma forma que nos permita iterar até chegar na solução. As funções de iteração dadas são:
A pergunta é: Qual dessas funções de iteração vai realmente convergir para a raiz da equação? E por quê?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função de iteração convergir para a raiz. No método do ponto fixo, a ideia é que, ao aplicar a função de iteração repetidamente a partir de um palpite inicial, a sequência de valores gerada se aproxime cada vez mais da raiz verdadeira da função original.
Para que isso aconteça, a função de iteração precisa satisfazer uma condição importante: o valor absoluto da derivada da função de iteração no ponto fixo (a raiz que estamos buscando) deve ser menor que 1, ou seja,
. Isso garante que as próximas iterações fiquem mais próximas da raiz, levando à convergência.
Passo 3
Vamos analisar as duas funções de iteração
e
:
-
Função
: - Aqui, a gente está dividindo algo por
. Se for muito pequeno, essa divisão pode resultar em um valor muito grande ou instável. - Além disso, se der zero no denominador, a função não está definida.
- Aqui, a gente está dividindo algo por
-
Função
: - Nessa função, estamos tirando a raiz quadrada, o que geralmente é mais estável.
- A expressão dentro da raiz está garantida de ser positiva (já que
varia entre -1 e 1, então varia entre -1 e 3. Para funcionar, precisamos que , o que é verdade para a maioria dos valores de ).
Passo 4
Considerando esses pontos, vamos pensar nas derivadas das funções para verificar a condição de convergência:
-
Derivada de
: - A derivada envolve uma função racional complicada, e é mais difícil garantir que seu valor absoluto seja menor que 1 para todos os
na vizinhança da raiz.
- A derivada envolve uma função racional complicada, e é mais difícil garantir que seu valor absoluto seja menor que 1 para todos os
-
Derivada de
: - A derivada de uma raiz quadrada tende a ser mais suave e mais propensa a ter um valor absoluto menor que 1, especialmente se a função dentro da raiz não varia muito.
Além disso, a função
evita divisões por
, o que a torna menos propensa a instabilidades numéricas durante as iterações.
Passo 5
Portanto, com base nessa análise, a função
é a que tem maior probabilidade de convergir para a raiz positiva da equação original. Ela atende melhor às condições de estabilidade necessárias para o método do ponto fixo funcionar corretamente.
Resposta
A função de iteração que converge para a raiz é
.
Exercícios relacionados
No cálculo das raízes de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual função de iteração irá convergir para cada raiz. Justifique.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(e) .
(e)
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(b) .
(b)
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
© .
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