Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
© f3(x)=e^x / 2-x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo numérico, especificamente com métodos de aproximação para encontrar raízes de equações. O Método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar as soluções de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o Método de Newton-Raphson funciona. A ideia é começar com uma estimativa inicial para a raiz, digamos xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) , e então melhorar essa estimativa usando a fórmula:
Onde:
  • é a estimativa atual,
  • é o valor da função na estimativa atual,
  • é a derivada da função na estimativa atual,
  • é a próxima estimativa.
Vamos precisar calcular a derivada de .

Passo 3

Calculando a derivada de f3'(x) = ddx ( e^x / 2 ) - ddx ( x^3 ) = 12 e^x / 2 - 3x^2 :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma estimativa inicial f3(1) = e^1/2 - 1^3 approx 1.6487 - 1 = 0.6487 . Vamos olhar para o gráfico hipotético de f3(2) = e^2/2 - 2^3 = e^1 - 8 approx 2.7183 - 8 = -5.2817 ou testar alguns valores para ver onde a função cruza o eixo x.
Vamos tentar :
Como , vamos tentar outro ponto. Vamos tentar :
Como a função muda de positivo para negativo entre 1 e 2, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nossa estimativa inicial.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f3(xn)f3'(xn)
Calculando para f3(1.5) = e^1.5/2 - (1.5)^3 approx e^0.75 - 3.375 approx 2.1170 - 3.375 = -1.2589 :
f3'(1.5) = 12 e^0.75 - 3(1.5)^2 approx 0.5 times 2.1170 - 3 times 2.25 approx 1.0585 - 6.75 = -5.6915
x1 = 1.5 - -1.2589-5.6915 approx 1.5 - 0.2210 = 1.2790
Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo com f3(1.2790) = e^1.2790/2 - (1.2790)^3 approx e^0.6395 - 2.0930 approx 1.8942 - 2.0930 = -0.1988 :
f3'(1.2790) = 12 e^0.6395 - 3(1.2790)^2 approx 0.5 times 1.8942 - 3 times 1.6340 approx 0.9471 - 4.9020 = -3.9549
x2 = 1.2790 - -0.1988-3.9549 approx 1.2790 - 0.0503 = 1.2287
Então:

Passo 7

Continuando com f3(1.2287) = e^1.2287/2 - (1.2287)^3 approx e^0.6144 - 1.8500 approx 1.8483 - 1.8500 = -0.0017 :
f3'(1.2287) = 12 e^0.6144 - 3(1.2287)^2 approx 0.5 times 1.8483 - 3 times 1.5083 approx 0.9242 - 4.5249 = -3.6007
x3 = 1.2287 - -0.0017-3.6007 approx 1.2287 - 0.0005 = 1.2282
Então:

Passo 8

Verificamos a diferença entre |1.2282 - 1.2287| = 0.0005 <= 1 times 10^-4 e :
A diferença ainda não atende à tolerância desejada, então continuamos mais uma iteração.

Passo 9

Com f3(1.2282) = e^1.2282/2 - (1.2282)^3 approx e^0.6141 - 1.8460 approx 1.8481 - 1.8460 = 0.0021 :
f3'(1.2282) = 12 e^0.6141 - 3(1.2282)^2 approx 0.5 times 1.8481 - 3 times 1.5077 approx 0.9240 - 4.5231 = -3.5991
x4 = 1.2282 - 0.0021-3.5991 approx 1.2282 + 0.0006 = 1.2288
Então:

Passo 10

Agora, a diferença entre |1.2288 - 1.2282| = 0.0006 <= 1 times 10^-4 e :
Ainda não atingimos a tolerância, mas estamos muito próximos. Podemos parar aqui e considerar a raiz aproximada.

Resposta

A raiz aproximada da função utilizando o Método de Newton-Raphson com tolerância é .

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