Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo numérico, especificamente com métodos de aproximação para encontrar raízes de equações. O Método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar as soluções de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o Método de Newton-Raphson funciona. A ideia é começar com uma estimativa inicial para a raiz, digamos
, e então melhorar essa estimativa usando a fórmula:
Onde:
-
é a estimativa atual, -
é o valor da função na estimativa atual, -
é a derivada da função na estimativa atual, -
é a próxima estimativa.
Vamos precisar calcular a derivada de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma estimativa inicial
. Vamos olhar para o gráfico hipotético de
ou testar alguns valores para ver onde a função cruza o eixo x.
Vamos tentar
:
Como
, vamos tentar outro ponto. Vamos tentar
:
Como a função muda de positivo para negativo entre 1 e 2, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher
como nossa estimativa inicial.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando para
:
Então:
Passo 6
Vamos repetir o processo com
:
Então:
Passo 7
Continuando com
:
Então:
Passo 8
Verificamos a diferença entre
e
:
A diferença ainda não atende à tolerância desejada, então continuamos mais uma iteração.
Passo 9
Com
:
Então:
Passo 10
Agora, a diferença entre
e
:
Ainda não atingimos a tolerância, mas estamos muito próximos. Podemos parar aqui e considerar a raiz aproximada.
Resposta
A raiz aproximada da função
utilizando o Método de Newton-Raphson com tolerância
é
.
Exercícios relacionados
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(b) .
(b)
No cálculo da raiz positiva de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual das funções de iteração acima converge para a raiz. Justifique.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(d) .
(d)
Localize graficamente as raízes das equações:
(a)
(a)