Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo numérico, especificamente com métodos de aproximação para encontrar raízes de equações. O Método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar as soluções de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o Método de Newton-Raphson funciona. A ideia é começar com uma estimativa inicial para a raiz, digamos , e então melhorar essa estimativa usando a fórmula:
Onde:
  • é a estimativa atual,
  • é o valor da função na estimativa atual,
  • é a derivada da função na estimativa atual,
  • é a próxima estimativa.
Vamos precisar calcular a derivada de .

Passo 3

Calculando a derivada de :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma estimativa inicial . Vamos olhar para o gráfico hipotético de ou testar alguns valores para ver onde a função cruza o eixo x.
Vamos tentar :
Como , vamos tentar outro ponto. Vamos tentar :
Como a função muda de positivo para negativo entre 1 e 2, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher como nossa estimativa inicial.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando para :
Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo com :
Então:

Passo 7

Continuando com :
Então:

Passo 8

Verificamos a diferença entre e :
A diferença ainda não atende à tolerância desejada, então continuamos mais uma iteração.

Passo 9

Com :
Então:

Passo 10

Agora, a diferença entre e :
Ainda não atingimos a tolerância, mas estamos muito próximos. Podemos parar aqui e considerar a raiz aproximada.

Resposta

A raiz aproximada da função utilizando o Método de Newton-Raphson com tolerância é .

Exercícios relacionados

Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(b) .
No cálculo da raiz positiva de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual das funções de iteração acima converge para a raiz. Justifique.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(d) .
Localize graficamente as raízes das equações:
(a)