No cálculo das raízes de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual função de iteração irá convergir para cada raiz. Justifique.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a equação
e queremos encontrar as raízes dela usando o método do ponto fixo, que é uma técnica iterativa. Para isso, foram dadas duas funções de iteração:
O objetivo aqui é descobrir qual dessas funções vai nos levar a cada uma das raízes da equação sem precisar fazer as iterações de fato. Para isso, precisamos entender um pouco sobre como o método do ponto fixo funciona e analisar as propriedades dessas funções de iteração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no método do ponto fixo, a função de iteração
deve ter uma derivada em módulo menor que 1 no ponto fixo (a raiz que estamos procurando) para garantir a convergência. Isso significa que a escolha de
influencia diretamente se vamos chegar na raiz desejada.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Aqui, a raiz quadrada está presente, o que indica que o
só está definida para valores de
que tornam o que está dentro da raiz não negativo. Além disso, como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo,
tende a produzir apenas valores positivos ou zero.
Passo 4
Agora, olhando para a função
, temos um logaritmo natural. O logaritmo só está definido quando o argumento é positivo, então
, o que restringe
entre -2 e 2. Além disso, o resultado da função
será negativo, já que estamos multiplicando o logaritmo por -1/2.
Passo 5
Com base nessas análises, percebemos que
sempre gera valores positivos ou zero, enquanto
gera apenas valores negativos dentro do intervalo permitido. Dessa forma,
está direcionada a encontrar a raiz positiva da equação, e
está direcionada a encontrar a raiz negativa.
Resposta
A função de iteração
irá convergir para a raiz positiva da equação, enquanto
irá convergir para a raiz negativa.
Exercícios relacionados
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(e) .
(e)
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(a) .
(a)
No cálculo da raiz positiva de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual das funções de iteração acima converge para a raiz. Justifique.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(b) .
(b)