No cálculo das raízes de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual função de iteração irá convergir para cada raiz. Justifique.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a equação e queremos encontrar as raízes dela usando o método do ponto fixo, que é uma técnica iterativa. Para isso, foram dadas duas funções de iteração:
O objetivo aqui é descobrir qual dessas funções vai nos levar a cada uma das raízes da equação sem precisar fazer as iterações de fato. Para isso, precisamos entender um pouco sobre como o método do ponto fixo funciona e analisar as propriedades dessas funções de iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no método do ponto fixo, a função de iteração deve ter uma derivada em módulo menor que 1 no ponto fixo (a raiz que estamos procurando) para garantir a convergência. Isso significa que a escolha de influencia diretamente se vamos chegar na raiz desejada.

Passo 3

Vamos analisar a função . Aqui, a raiz quadrada está presente, o que indica que o só está definida para valores de que tornam o que está dentro da raiz não negativo. Além disso, como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, tende a produzir apenas valores positivos ou zero.

Passo 4

Agora, olhando para a função , temos um logaritmo natural. O logaritmo só está definido quando o argumento é positivo, então , o que restringe entre -2 e 2. Além disso, o resultado da função será negativo, já que estamos multiplicando o logaritmo por -1/2.

Passo 5

Com base nessas análises, percebemos que sempre gera valores positivos ou zero, enquanto gera apenas valores negativos dentro do intervalo permitido. Dessa forma, está direcionada a encontrar a raiz positiva da equação, e está direcionada a encontrar a raiz negativa.

Resposta

A função de iteração irá convergir para a raiz positiva da equação, enquanto irá convergir para a raiz negativa.

Exercícios relacionados

Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(e) .
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(a) .
No cálculo da raiz positiva de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual das funções de iteração acima converge para a raiz. Justifique.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(b) .