No cálculo das raízes de f(x)=e^-2 x+x^2-4=0, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
varphi1(x)=raiz4-e^-2 x ; varphi2(x)=-12 ln (4-x^2)
(b) Indique, sem iteragir, qual função de iteração irá convergir para cada raiz. Justifique.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a equação varphi1(x) = raiz4 - e^-2x e varphi2(x) = -12 ln (4 - x^2) e queremos encontrar as raízes dela usando o método do ponto fixo, que é uma técnica iterativa. Para isso, foram dadas duas funções de iteração:
O objetivo aqui é descobrir qual dessas funções vai nos levar a cada uma das raízes da equação sem precisar fazer as iterações de fato. Para isso, precisamos entender um pouco sobre como o método do ponto fixo funciona e analisar as propriedades dessas funções de iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no método do ponto fixo, a função de iteração deve ter uma derivada em módulo menor que 1 no ponto fixo (a raiz que estamos procurando) para garantir a convergência. Isso significa que a escolha de influencia diretamente se vamos chegar na raiz desejada.

Passo 3

Vamos analisar a função . Aqui, a raiz quadrada está presente, o que indica que o só está definida para valores de que tornam o que está dentro da raiz não negativo. Além disso, como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, tende a produzir apenas valores positivos ou zero.

Passo 4

Agora, olhando para a função , temos um logaritmo natural. O logaritmo só está definido quando o argumento é positivo, então , o que restringe entre -2 e 2. Além disso, o resultado da função será negativo, já que estamos multiplicando o logaritmo por -1/2.

Passo 5

Com base nessas análises, percebemos que sempre gera valores positivos ou zero, enquanto gera apenas valores negativos dentro do intervalo permitido. Dessa forma, está direcionada a encontrar a raiz positiva da equação, e está direcionada a encontrar a raiz negativa.

Resposta

A função de iteração irá convergir para a raiz positiva da equação, enquanto irá convergir para a raiz negativa.

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