Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
(b) f2(x)=ln (x)-x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o Método de Newton-Raphson. Esse método ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos da derivada da função e escolher um ponto inicial próximo da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f2'(x) = 1x - 1 . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 3

Escolhemos um chute inicial. Olhando para a função , sabemos que precisa ser positivo. Vamos tentar .

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f2(xn)f2'(xn)
Para f2(1) = ln(1) - 1 + 2 = 0 - 1 + 2 = 1 :
f2'(1) = 11 - 1 = 0
Aqui, a derivada é zero, o que não é bom porque não podemos dividir por zero. Vamos tentar outro chute, .

Passo 5

Para f2(2) = ln(2) - 2 + 2 approx 0,6931 - 2 + 2 = 0,6931 :
f2'(2) = 12 - 1 = -0,5
x1 = 2 - 0,6931-0,5 = 2 + 1,3862 = 3,3862
Agora, aplicamos a fórmula:

Passo 6

Vamos iterar novamente com f2(3,3862) = ln(3,3862) - 3,3862 + 2 approx 1,2185 - 3,3862 + 2 = -0,1677 :
f2'(3,3862) = 13,3862 - 1 approx 0,2950 - 1 = -0,7050
x2 = 3,3862 - -0,1677-0,7050 approx 3,3862 - 0,2377 = 3,1485
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Agora, com f2(3,1485) = ln(3,1485) - 3,1485 + 2 approx 1,1482 - 3,1485 + 2 = 0,0003 :
|x3 - x2| = |3,1485 - 3,1485| = 0
Como a diferença é menor que , paramos aqui.

Resposta

A raiz da função é aproximadamente .

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