Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
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(e)
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(e)
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver o exercício de determinar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson. Esse método pertence ao conteúdo de Cálculo Numérico e é super útil para encontrar raízes de equações de forma aproximada. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do Método de Newton-Raphson e calcular tanto a função quanto sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton-Raphson. Ela nos ajuda a aproximar a raiz de uma função através de iterações. A fórmula é:
Aqui,
é a nossa aproximação atual e
será a próxima aproximação.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. Sabemos que:
A derivada de
é:
Passo 4
Precisamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Vamos escolher
como nossa estimativa inicial. Isso porque, ao observar a função, percebemos que
é próximo de 0. This gives us a reasonable starting point.
Passo 5
Vamos começar as iterações:
Iteração 1:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Iteração 2:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Iteração 3:
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Vamos verificar a tolerância. A diferença entre
e
é:
Como
, ainda não atingimos a tolerância. Vamos para a próxima iteração.
Passo 9
Iteração 4:
Aplicando a fórmula:
Passo 10
Verificando novamente a tolerância:
Ainda não atingimos
. Vamos continuar!
Passo 11
Iteração 5:
Aplicando a fórmula:
Passo 12
Agora a diferença:
Ainda acima da tolerância. Para agilizar, vamos realizar mais algumas iterações até atingir
.
Passo 13
Após várias iterações, convergimos para uma aproximação onde a diferença entre as iterações é menor que
. Por exemplo:
Resposta
A raiz da função
utilizando o Método de Newton-Raphson com tolerância
é aproximadamente
.