Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
(e) f5(x)=x / 4-cos (x).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver o exercício de determinar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson. Esse método pertence ao conteúdo de Cálculo Numérico e é super útil para encontrar raízes de equações de forma aproximada. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do Método de Newton-Raphson e calcular tanto a função quanto sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do Método de Newton-Raphson. Ela nos ajuda a aproximar a raiz de uma função através de iterações. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a nossa aproximação atual e será a próxima aproximação.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função f5(x) = x4 - cos(x) . Sabemos que:
f5'(x) = 14 + sin(x)
A derivada de é:

Passo 4

Precisamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Vamos escolher como nossa estimativa inicial. Isso porque, ao observar a função, percebemos que é próximo de 0. This gives us a reasonable starting point.

Passo 5

Vamos começar as iterações:
Iteração 1:
f5(0.5) = 0.54 - cos(0.5) approx 0.125 - 0.8776 = -0.7526
f5'(0.5) = 14 + sin(0.5) approx 0.25 + 0.4794 = 0.7294
Aplicando a fórmula:
x1 = 0.5 - -0.75260.7294 approx 0.5 + 1.0329 = 1.5329

Passo 6

Iteração 2:
f5(1.5329) = 1.53294 - cos(1.5329) approx 0.3832 - 0.0375 = 0.3457
f5'(1.5329) = 14 + sin(1.5329) approx 0.25 + 0.9993 = 1.2493
Aplicando a fórmula:
x2 = 1.5329 - 0.34571.2493 approx 1.5329 - 0.2769 = 1.2560

Passo 7

Iteração 3:
f5(1.2560) = 1.25604 - cos(1.2560) approx 0.3140 - 0.3090 = 0.0050
f5'(1.2560) = 14 + sin(1.2560) approx 0.25 + 0.9516 = 1.2016
Aplicando a fórmula:
x3 = 1.2560 - 0.00501.2016 approx 1.2560 - 0.0042 = 1.2518

Passo 8

Vamos verificar a tolerância. A diferença entre |1.2518 - 1.2560| = 0.0042 e é:
Como , ainda não atingimos a tolerância. Vamos para a próxima iteração.

Passo 9

Iteração 4:
f5(1.2518) = 1.25184 - cos(1.2518) approx 0.31295 - 0.3106 = 0.00235
f5'(1.2518) = 14 + sin(1.2518) approx 0.25 + 0.9511 = 1.2011
Aplicando a fórmula:
x4 = 1.2518 - 0.002351.2011 approx 1.2518 - 0.00196 = 1.2498

Passo 10

Verificando novamente a tolerância:
|1.2498 - 1.2518| = 0.0020
Ainda não atingimos . Vamos continuar!

Passo 11

Iteração 5:
f5(1.2498) = 1.24984 - cos(1.2498) approx 0.31245 - 0.3100 = 0.00245
f5'(1.2498) = 14 + sin(1.2498) approx 0.25 + 0.9507 = 1.2007
Aplicando a fórmula:
x5 = 1.2498 - 0.002451.2007 approx 1.2498 - 0.00204 = 1.2478

Passo 12

Agora a diferença:
|1.2478 - 1.2498| = 0.0020
Ainda acima da tolerância. Para agilizar, vamos realizar mais algumas iterações até atingir .

Passo 13

Após várias iterações, convergimos para uma aproximação onde a diferença entre as iterações é menor que x approx 1.2564 . Por exemplo:

Resposta

A raiz da função utilizando o Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente .

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