No cálculo da raiz positiva de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
Pelo método de Newton-Raphson, calcule uma aproximação para a raiz de
com tolerância
a partir do valor inicial
do item (a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a raiz positiva da função
usando o método de Newton-Raphson. Isso faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente sobre Iteração de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar da função
, da sua derivada
e de um ponto inicial
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. Vamos derivar termo a termo:
A derivada de
é:
A derivada de
é
e a derivada de 1 é 0. Então, a derivada completa é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método de Newton-Raphson. A fórmula de iteração é:
Precisamos repetir esse cálculo até que a diferença entre
e
seja menor que a tolerância
.
Passo 4
Vamos supor que o valor inicial
fornecido no item (a) seja, por exemplo,
. (Caso o valor seja diferente, basta substituir neste passo.)
Calculamos
e
:
Então,
Passo 5
Agora, verificamos a diferença entre
e
:
Como ainda não atingimos a tolerância, vamos para a próxima iteração.
Calculamos
e
:
Então,
Passo 6
Verificamos novamente a diferença:
Ainda não atingimos a tolerância. Vamos para a próxima iteração.
Calculamos
e
:
Então,
Passo 7
Mais uma vez, verificamos a diferença:
Vamos continuar.
Calculamos
e
:
Então,
Passo 8
Verificamos novamente:
Continuamos.
Calculamos
e
:
Então,
Passo 9
Mais uma verificação:
Vamos para a próxima iteração.
Calculamos
e
:
Então,
Resposta
Aproximando com o método de Newton-Raphson, a raiz positiva da função
é aproximadamente
com uma tolerância
.
Exercícios relacionados
Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use
):
O polinômio
tem seus três zeros reais, todos no intervalo
.
Verifique que e
.
Verifique que
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
.