No cálculo da raiz positiva de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
Pelo método de Newton-Raphson, calcule uma aproximação para a raiz de com tolerância a partir do valor inicial do item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a raiz positiva da função usando o método de Newton-Raphson. Isso faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente sobre Iteração de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar da função , da sua derivada e de um ponto inicial . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . Vamos derivar termo a termo:
A derivada de é:
A derivada de é e a derivada de 1 é 0. Então, a derivada completa é:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método de Newton-Raphson. A fórmula de iteração é:
Precisamos repetir esse cálculo até que a diferença entre e seja menor que a tolerância .

Passo 4

Vamos supor que o valor inicial fornecido no item (a) seja, por exemplo, . (Caso o valor seja diferente, basta substituir neste passo.)
Calculamos e :
Então,

Passo 5

Agora, verificamos a diferença entre e :
Como ainda não atingimos a tolerância, vamos para a próxima iteração.
Calculamos e :
Então,

Passo 6

Verificamos novamente a diferença:
Ainda não atingimos a tolerância. Vamos para a próxima iteração.
Calculamos e :
Então,

Passo 7

Mais uma vez, verificamos a diferença:
Vamos continuar.
Calculamos e :
Então,

Passo 8

Verificamos novamente:
Continuamos.
Calculamos e :
Então,

Passo 9

Mais uma verificação:
Vamos para a próxima iteração.
Calculamos e :
Então,

Resposta

Aproximando com o método de Newton-Raphson, a raiz positiva da função é aproximadamente com uma tolerância .

Exercícios relacionados

Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo (use ):
O polinômio tem seus três zeros reais, todos no intervalo .
Verifique que e .
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
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Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
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