No cálculo da raiz positiva de f(x)=2 cos (x / 2)-x^2+1=0, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
varphi1(x)=2 cos (x2)+1x ; varphi2(x)=raiz2 cos (x2)+1
Pelo método de Newton-Raphson, calcule uma aproximação para a raiz de f(x) com tolerância epsilon<1 times 10^-4 a partir do valor inicial x0 do item (a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a raiz positiva da função usando o método de Newton-Raphson. Isso faz parte do conteúdo de Métodos Numéricos, especificamente sobre Iteração de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar da função , da sua derivada e de um ponto inicial . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) = 2 cos(x2) - x^2 + 1 . Vamos derivar termo a termo:
ddx(2 cos(x2)) = -2 cdot 12 sin(x2) = -sin(x2)
A derivada de f'(x) = -sin(x2) - 2x é:
A derivada de é e a derivada de 1 é 0. Então, a derivada completa é:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método de Newton-Raphson. A fórmula de iteração é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Precisamos repetir esse cálculo até que a diferença entre e seja menor que a tolerância .

Passo 4

Vamos supor que o valor inicial f(1) = 2 cos(12) - (1)^2 + 1 approx 2 cos(0.5) - 1 + 1 approx 2 times 0.8776 - 1 + 1 approx 1.7552 fornecido no item (a) seja, por exemplo, f'(1) = -sin(12) - 2 times 1 approx -0.4794 - 2 approx -2.4794 . (Caso o valor seja diferente, basta substituir neste passo.)
Calculamos x1 = 1 - 1.7552-2.4794 approx 1 + 0.7070 = 1.7070 e :
Então,

Passo 5

Agora, verificamos a diferença entre |x1 - x0| = |1.7070 - 1| = 0.7070 > 1 times 10^-4 e f(1.7070) = 2 cos(1.70702) - (1.7070)^2 + 1 approx 2 cos(0.8535) - 2.9150 + 1 approx 2 times 0.6585 - 2.9150 + 1 approx 1.3170 - 2.9150 + 1 approx -0.5980 :
f'(1.7070) = -sin(1.70702) - 2 times 1.7070 approx -sin(0.8535) - 3.4140 approx -0.7528 - 3.4140 approx -4.1668
Como ainda não atingimos a tolerância, vamos para a próxima iteração.
Calculamos x2 = 1.7070 - -0.5980-4.1668 approx 1.7070 - 0.1434 = 1.5636 e :
Então,

Passo 6

Verificamos novamente a diferença:
|x2 - x1| = |1.5636 - 1.7070| = 0.1434 > 1 times 10^-4
Ainda não atingimos a tolerância. Vamos para a próxima iteração.
Calculamos f(1.5636) = 2 cos(1.56362) - (1.5636)^2 + 1 approx 2 cos(0.7818) - 2.4463 + 1 approx 2 times 0.7095 - 2.4463 + 1 approx 1.4190 - 2.4463 + 1 approx -0.0273 e f'(1.5636) = -sin(1.56362) - 2 times 1.5636 approx -sin(0.7818) - 3.1272 approx -0.7055 - 3.1272 approx -3.8327 :
x3 = 1.5636 - -0.0273-3.8327 approx 1.5636 - 0.0071 = 1.5565
Então,

Passo 7

Mais uma vez, verificamos a diferença:
|x3 - x2| = |1.5565 - 1.5636| = 0.0071 > 1 times 10^-4
Vamos continuar.
Calculamos f(1.5565) = 2 cos(1.55652) - (1.5565)^2 + 1 approx 2 cos(0.7783) - 2.4332 + 1 approx 2 times 0.7141 - 2.4332 + 1 approx 1.4282 - 2.4332 + 1 approx -0.0050 e f'(1.5565) = -sin(1.55652) - 2 times 1.5565 approx -sin(0.7783) - 3.1130 approx -0.7027 - 3.1130 approx -3.8157 :
x4 = 1.5565 - -0.0050-3.8157 approx 1.5565 - 0.0013 = 1.5552
Então,

Passo 8

Verificamos novamente:
|x4 - x3| = |1.5552 - 1.5565| = 0.0013 > 1 times 10^-4
Continuamos.
Calculamos f(1.5552) = 2 cos(1.55522) - (1.5552)^2 + 1 approx 2 cos(0.7776) - 2.418 + 1 approx 2 times 0.7150 - 2.418 + 1 approx 1.4300 - 2.418 + 1 approx 0.0120 e f'(1.5552) = -sin(1.55522) - 2 times 1.5552 approx -sin(0.7776) - 3.1104 approx -0.6998 - 3.1104 approx -3.8102 :
x5 = 1.5552 - 0.0120-3.8102 approx 1.5552 + 0.0031 = 1.5583
Então,

Passo 9

Mais uma verificação:
|x5 - x4| = |1.5583 - 1.5552| = 0.0031 > 1 times 10^-4
Vamos para a próxima iteração.
Calculamos f(1.5583) = 2 cos(1.55832) - (1.5583)^2 + 1 approx 2 cos(0.7792) - 2.4284 + 1 approx 2 times 0.7140 - 2.4284 + 1 approx 1.4280 - 2.4284 + 1 approx 0.0000 e f'(1.5583) = -sin(1.55832) - 2 times 1.5583 approx -sin(0.7792) - 3.1166 approx -0.7084 - 3.1166 approx -3.8250 :
x6 = 1.5583 - 0.0000-3.8250 approx 1.5583
Então,

Resposta

Aproximando com o método de Newton-Raphson, a raiz positiva da função é aproximadamente com uma tolerância .

Exercícios relacionados