Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
f5(x)=x / 4-cos (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções usando iterações baseadas em derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton-Raphson. Basicamente, ele usa a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a nossa aproximação atual da raiz, é o valor da função nessa aproximação, e é a derivada da função nesse ponto. A ideia é que cada iteração nos leva mais perto da verdadeira raiz.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função f5'(x) = 14 + sin(x) . A derivada de é , e a derivada de é . Então:
Essa derivada será usada no nosso método para atualizar as aproximações.

Passo 4

Agora precisamos escolher um valor inicial f5(0) = 0 - cos(0) = -1 para começar as iterações. Olhando para a função f5(pi) = pi4 - cos(pi) = pi4 + 1 approx 1.785 , vemos que quando :
E quando :
Como é negativa e é positiva, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0 e (pela Teorema de Bolzano). Vamos escolher como nosso palpite inicial.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson para encontrar x1 = x0 - f5(x0)f5'(x0) :
f5(1) = 14 - cos(1) approx 0.25 - 0.5403 approx -0.2903
Calculando:
f5'(1) = 14 + sin(1) approx 0.25 + 0.8415 approx 1.0915
x1 = 1 - -0.29031.0915 approx 1 + 0.2656 approx 1.2656
Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo para encontrar f5(1.2656) = 1.26564 - cos(1.2656) approx 0.3164 - 0.3012 approx 0.0152 :
f5'(1.2656) = 14 + sin(1.2656) approx 0.25 + 0.9563 approx 1.2063
x2 = 1.2656 - 0.01521.2063 approx 1.2656 - 0.0126 approx 1.2530
Então:
|1.2530 - 1.2656| = 0.0126 > 1 times 10^-4
Verificamos a diferença entre e :
Como ainda não atingimos a tolerância desejada, vamos continuar.

Passo 7

Calculando f5(1.2530) = 1.25304 - cos(1.2530) approx 0.3133 - 0.3100 approx 0.0033 :
f5'(1.2530) = 14 + sin(1.2530) approx 0.25 + 0.9524 approx 1.2024
x3 = 1.2530 - 0.00331.2024 approx 1.2530 - 0.0027 approx 1.2503
Então:
|1.2503 - 1.2530| = 0.0027 > 1 times 10^-4
Diferença:

Passo 8

Calculando f5(1.2503) = 1.25034 - cos(1.2503) approx 0.3126 - 0.3111 approx 0.0015 :
f5'(1.2503) = 14 + sin(1.2503) approx 0.25 + 0.9480 approx 1.1980
x4 = 1.2503 - 0.00151.1980 approx 1.2503 - 0.0013 approx 1.2490
Então:
|1.2490 - 1.2503| = 0.0013 > 1 times 10^-4
Diferença:

Passo 9

Calculando f5(1.2490) = 1.24904 - cos(1.2490) approx 0.3123 - 0.3108 approx 0.0015 :
f5'(1.2490) = 14 + sin(1.2490) approx 0.25 + 0.9470 approx 1.1970
x5 = 1.2490 - 0.00151.1970 approx 1.2490 - 0.0013 approx 1.2477
Então:
|1.2477 - 1.2490| = 0.0013 > 1 times 10^-4
Diferença:

Passo 10

Vamos continuar até que a diferença seja menor ou igual a x approx 1.2532 . Após algumas iterações, chegamos a:
E a diferença entre as iterações consecutivas ficou menor que , atendendo à nossa tolerância.

Resposta

A raiz da função x approx 1.2532 encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente:

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