Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções usando iterações baseadas em derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton-Raphson. Basicamente, ele usa a fórmula:
Aqui,
é a nossa aproximação atual da raiz,
é o valor da função nessa aproximação, e
é a derivada da função nesse ponto. A ideia é que cada iteração nos leva mais perto da verdadeira raiz.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função
. A derivada de
é
, e a derivada de
é
. Então:
Essa derivada será usada no nosso método para atualizar as aproximações.
Passo 4
Agora precisamos escolher um valor inicial
para começar as iterações. Olhando para a função
, vemos que quando
:
E quando
:
Como
é negativa e
é positiva, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0 e
(pela Teorema de Bolzano). Vamos escolher
como nosso palpite inicial.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson para encontrar
:
Calculando:
Então:
Passo 6
Vamos repetir o processo para encontrar
:
Então:
Verificamos a diferença entre
e
:
Como ainda não atingimos a tolerância desejada, vamos continuar.
Passo 7
Calculando
:
Então:
Diferença:
Passo 8
Calculando
:
Então:
Diferença:
Passo 9
Calculando
:
Então:
Diferença:
Passo 10
Vamos continuar até que a diferença seja menor ou igual a
. Após algumas iterações, chegamos a:
E a diferença entre as iterações consecutivas ficou menor que
, atendendo à nossa tolerância.
Resposta
A raiz da função
encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância
é aproximadamente: