Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções usando iterações baseadas em derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton-Raphson. Basicamente, ele usa a fórmula: Aqui, é a nossa aproximação atual da raiz, é o valor da função nessa aproximação, e é a derivada da função nesse ponto. A ideia é que cada iteração nos leva mais perto da verdadeira raiz.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada de é , e a derivada de é . Então: Essa derivada será usada no nosso método para atualizar as aproximações.

Passo 4

Agora precisamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Olhando para a função , vemos que quando : E quando : Como é negativa e é positiva, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0 e (pela Teorema de Bolzano). Vamos escolher como nosso palpite inicial.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson para encontrar : Calculando: Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo para encontrar : Então: Verificamos a diferença entre e : Como ainda não atingimos a tolerância desejada, vamos continuar.

Passo 7

Calculando : Então: Diferença:

Passo 8

Calculando : Então: Diferença:

Passo 9

Calculando : Então: Diferença:

Passo 10

Vamos continuar até que a diferença seja menor ou igual a . Após algumas iterações, chegamos a: E a diferença entre as iterações consecutivas ficou menor que , atendendo à nossa tolerância.

Resposta

A raiz da função encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente:

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Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância . .
No cálculo da raiz positiva de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração: Pelo método de Newton-Raphson, calcule uma aproximação para a raiz de com tolerância a partir do valor inicial do item (a).
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância . .
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância . .