Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson, com uma tolerância de . Para isso, vamos precisar entender como funciona o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para aproximar raízes de funções usando iterações baseadas em derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton-Raphson. Basicamente, ele usa a fórmula:
Aqui, é a nossa aproximação atual da raiz, é o valor da função nessa aproximação, e é a derivada da função nesse ponto. A ideia é que cada iteração nos leva mais perto da verdadeira raiz.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada de é , e a derivada de é . Então:
Essa derivada será usada no nosso método para atualizar as aproximações.
Passo 4
Agora precisamos escolher um valor inicial para começar as iterações. Olhando para a função , vemos que quando :
E quando :
Como é negativa e é positiva, sabemos que existe pelo menos uma raiz entre 0 e (pela Teorema de Bolzano). Vamos escolher como nosso palpite inicial.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula de Newton-Raphson para encontrar :
Calculando:
Então:
Passo 6
Vamos repetir o processo para encontrar :
Então:
Verificamos a diferença entre e :
Como ainda não atingimos a tolerância desejada, vamos continuar.
Passo 7
Calculando :
Então:
Diferença:
Passo 8
Calculando :
Então:
Diferença:
Passo 9
Calculando :
Então:
Diferença:
Passo 10
Vamos continuar até que a diferença seja menor ou igual a . Após algumas iterações, chegamos a:
E a diferença entre as iterações consecutivas ficou menor que , atendendo à nossa tolerância.
Resposta
A raiz da função encontrada pelo Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente:
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Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
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No cálculo da raiz positiva de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), são feitas transformações para as seguintes funções de iteração:
Pelo método de Newton-Raphson, calcule uma aproximação para a raiz de com tolerância a partir do valor inicial do item (a).
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
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Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
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