Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
f2(x)=ln (x)-x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson com uma tolerância de . Isso significa que queremos achar o valor de que faz com uma precisão bem certinha. Para isso, vamos usar a fórmula do Newton-Raphson, que ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa.

Passo 2

Primeiro, precisamos da fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f'(x) = ddx [ln(x) - x + 2] = 1x - 1 é a função que queremos resolver ( ) e é a derivada dessa função. Vamos calcular a derivada de :

Passo 3

Agora, precisamos escolher um palpite inicial . Vamos escolher como ponto de partida. Isso é só uma escolha inicial, pode ser outro valor, mas 1.5 é um bom começo.

Passo 4

Vamos calcular f(1.5) = ln(1.5) - 1.5 + 2 approx 0.4055 - 1.5 + 2 = 0.9055 e f'(1.5) = 11.5 - 1 approx 0.6667 - 1 = -0.3333 :
x1 = 1.5 - 0.9055-0.3333 approx 1.5 + 2.7165 = 4.2165
Agora, aplicamos a fórmula do Newton-Raphson para encontrar :

Passo 5

Vamos iterar novamente com f(4.2165) = ln(4.2165) - 4.2165 + 2 approx 1.4403 - 4.2165 + 2 = -0.7762 :
f'(4.2165) = 14.2165 - 1 approx 0.237 - 1 = -0.763
x2 = 4.2165 - -0.7762-0.763 approx 4.2165 - 1.0163 = 3.2002
Atualizamos para :

Passo 6

Continuando com f(3.2002) = ln(3.2002) - 3.2002 + 2 approx 1.1632 - 3.2002 + 2 = -0.037 :
f'(3.2002) = 13.2002 - 1 approx 0.3125 - 1 = -0.6875
x3 = 3.2002 - -0.037-0.6875 approx 3.2002 - 0.0538 = 3.1464
Atualizamos para :

Passo 7

Mais uma iteração com f(3.1464) = ln(3.1464) - 3.1464 + 2 approx 1.1481 - 3.1464 + 2 = -0.0003 :
f'(3.1464) = 13.1464 - 1 approx 0.3177 - 1 = -0.6823
x4 = 3.1464 - -0.0003-0.6823 approx 3.1464 - 0.0000 = 3.1464
Atualizamos para :
A diferença entre e é menor que , então podemos parar.

Resposta

A raiz da fun��ão é aproximadamente .

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