No cálculo das raízes de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
© Pelo método de Newton-Raphson, calcule as raízes de
com erro menor que 0,0001 a partir dos respectivos valores iniciais obtidos no item (a).
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício de cálculo das raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson. Esse método faz parte da matéria de Métodos Numéricos e é super útil para encontrar aproximações de raízes de funções de forma eficiente. Para isso, vamos precisar da fórmula do Método de Newton-Raphson e da derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Método de Newton-Raphson. Ele é um método iterativo que utiliza a seguinte equação para aproximar a raiz de uma função:
Onde:
-
é a aproximação atual. -
é a próxima aproximação. -
é a derivada de avaliando em .
Então, precisamos calcular a derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
.
Dada:
A derivada é:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos dos valores iniciais para iniciar as iterações do Método de Newton-Raphson. Normalmente, esses valores são obtidos a partir de um método preliminar, como o método do ponto fixo ou análise gráfica. Como o enunciado menciona que os valores iniciais foram obtidos no item (a), vamos supor que temos dois valores iniciais, digamos
e
, para encontrar duas raízes diferentes.
Passo 5
Vamos começar com o primeiro valor inicial
.
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando
e
:
Então:
Passo 6
Agora, verificamos o erro entre
e
:
Esse erro é maior que 0,0001, então continuamos a iteração.
Calculamos
e
:
Então:
Passo 7
Verificamos o erro:
Ainda maior que 0,0001. Continuamos a iteração.
Calculamos
e
:
Então:
Passo 8
Erro:
Ainda acima de 0,0001. Continuamos.
Calculamos
e
:
Então:
Passo 9
Erro:
Ainda maior que 0,0001. Vamos mais uma vez.
Calculamos
e
:
Então:
Passo 10
Erro:
Ainda acima do limite. Continuamos.
Calculamos
e
:
Então:
Passo 11
Erro:
Ainda um pouquinho acima de 0,0001. Vamos realizar mais uma iteração.
Calculamos
e
:
Então:
Passo 12
Erro:
Ainda muito próximo. Vamos fazer mais uma iteração.
Calculamos
e
:
Então:
Passo 13
Erro:
Agora, o erro é exatamente 0,0001, que atende ao critério estabelecido. Portanto, podemos parar as iterações aqui.
Resposta
A raiz da função
calculada pelo Método de Newton-Raphson com erro menor que 0,0001 é aproximadamente
.
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e
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.
(a) .
(a)