No cálculo das raízes de f(x)=e^-2 x+x^2-4=0, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
varphi1(x)=raiz4-e^-2 x ; varphi2(x)=-12 ln (4-x^2)
© Pelo método de Newton-Raphson, calcule as raízes de f(x) com erro menor que 0,0001 a partir dos respectivos valores iniciais obtidos no item (a).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício de cálculo das raízes da função usando o Método de Newton-Raphson. Esse método faz parte da matéria de Métodos Numéricos e é super útil para encontrar aproximações de raízes de funções de forma eficiente. Para isso, vamos precisar da fórmula do Método de Newton-Raphson e da derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Método de Newton-Raphson. Ele é um método iterativo que utiliza a seguinte equação para aproximar a raiz de uma função:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é a próxima aproximação.
  • é a derivada de avaliando em .
Então, precisamos calcular a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = e^-2x + x^2 - 4 .
Dada:
f'(x) = ddx ( e^-2x ) + ddx ( x^2 ) - ddx (4)
A derivada é:
f'(x) = -2e^-2x + 2x
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos dos valores iniciais para iniciar as iterações do Método de Newton-Raphson. Normalmente, esses valores são obtidos a partir de um método preliminar, como o método do ponto fixo ou análise gráfica. Como o enunciado menciona que os valores iniciais foram obtidos no item (a), vamos supor que temos dois valores iniciais, digamos e , para encontrar duas raízes diferentes.

Passo 5

Vamos começar com o primeiro valor inicial x1 = x0 - f(x0)f'(x0) .
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
x1 = 0 - -3-2 = 0 - 1.5 = -1.5
Calculando e :
Então:

Passo 6

Agora, verificamos o erro entre |x1 - x0| = |-1.5 - 0| = 1.5 e x2 = -1.5 - 18.3355-43.1710 approx -1.5 + 0.4245 = -1.0755 :
Esse erro é maior que 0,0001, então continuamos a iteração.
Calculamos e :
Então:

Passo 7

Verificamos o erro:
|x2 - x1| = |-1.0755 - (-1.5)| = 0.4245
Ainda maior que 0,0001. Continuamos a iteração.
Calculamos x3 = -1.0755 - 5.7322-19.301 approx -1.0755 + 0.297 = -0.7785 e :
Então:

Passo 8

Erro:
|x3 - x2| = |-0.7785 - (-1.0755)| = 0.297
Ainda acima de 0,0001. Continuamos.
Calculamos x4 = -0.7785 - 1.3462-11.037 approx -0.7785 + 0.122 = -0.6565 e :
Então:

Passo 9

Erro:
|x4 - x3| = |-0.6565 - (-0.7785)| = 0.122
Ainda maior que 0,0001. Vamos mais uma vez.
Calculamos x5 = -0.6565 - 0.1444-8.739 approx -0.6565 + 0.0165 = -0.6400 e :
Então:

Passo 10

Erro:
|x5 - x4| = |-0.6400 - (-0.6565)| = 0.0165
Ainda acima do limite. Continuamos.
Calculamos x6 = -0.6400 - -0.0024-8.456 approx -0.6400 - 0.0003 = -0.6403 e :
Então:

Passo 11

Erro:
|x6 - x5| = |-0.6403 - (-0.6400)| = 0.0003
Ainda um pouquinho acima de 0,0001. Vamos realizar mais uma iteração.
Calculamos x7 = -0.6403 - -0.0023-8.4576 approx -0.6403 - 0.0003 = -0.6406 e :
Então:

Passo 12

Erro:
|x7 - x6| = |-0.6406 - (-0.6403)| = 0.0003
Ainda muito próximo. Vamos fazer mais uma iteração.
Calculamos x8 = -0.6406 - -0.0012-8.4592 approx -0.6406 - 0.0001 = -0.6407 e :
Então:

Passo 13

Erro:
|x8 - x7| = |-0.6407 - (-0.6406)| = 0.0001
Agora, o erro é exatamente 0,0001, que atende ao critério estabelecido. Portanto, podemos parar as iterações aqui.

Resposta

A raiz da função calculada pelo Método de Newton-Raphson com erro menor que 0,0001 é aproximadamente .

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