No cálculo das raízes de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
© Pelo método de Newton-Raphson, calcule as raízes de com erro menor que 0,0001 a partir dos respectivos valores iniciais obtidos no item (a).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício de cálculo das raízes da função usando o Método de Newton-Raphson. Esse método faz parte da matéria de Métodos Numéricos e é super útil para encontrar aproximações de raízes de funções de forma eficiente. Para isso, vamos precisar da fórmula do Método de Newton-Raphson e da derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Método de Newton-Raphson. Ele é um método iterativo que utiliza a seguinte equação para aproximar a raiz de uma função:
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é a próxima aproximação.
  • é a derivada de avaliando em .
Então, precisamos calcular a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de .
Dada:
A derivada é:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos dos valores iniciais para iniciar as iterações do Método de Newton-Raphson. Normalmente, esses valores são obtidos a partir de um método preliminar, como o método do ponto fixo ou análise gráfica. Como o enunciado menciona que os valores iniciais foram obtidos no item (a), vamos supor que temos dois valores iniciais, digamos e , para encontrar duas raízes diferentes.

Passo 5

Vamos começar com o primeiro valor inicial .
Aplicando a fórmula de Newton-Raphson:
Calculando e :
Então:

Passo 6

Agora, verificamos o erro entre e :
Esse erro é maior que 0,0001, então continuamos a iteração.
Calculamos e :
Então:

Passo 7

Verificamos o erro:
Ainda maior que 0,0001. Continuamos a iteração.
Calculamos e :
Então:

Passo 8

Erro:
Ainda acima de 0,0001. Continuamos.
Calculamos e :
Então:

Passo 9

Erro:
Ainda maior que 0,0001. Vamos mais uma vez.
Calculamos e :
Então:

Passo 10

Erro:
Ainda acima do limite. Continuamos.
Calculamos e :
Então:

Passo 11

Erro:
Ainda um pouquinho acima de 0,0001. Vamos realizar mais uma iteração.
Calculamos e :
Então:

Passo 12

Erro:
Ainda muito próximo. Vamos fazer mais uma iteração.
Calculamos e :
Então:

Passo 13

Erro:
Agora, o erro é exatamente 0,0001, que atende ao critério estabelecido. Portanto, podemos parar as iterações aqui.

Resposta

A raiz da função calculada pelo Método de Newton-Raphson com erro menor que 0,0001 é aproximadamente .

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(a) .