Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância varepsilon <= 1 cdot 10^-4.
(a) f1(x)=raizx-e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson com uma tolerância de . O Método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para aproximar raízes de funções, ou seja, encontrar valores de onde . Para isso, vamos precisar da derivada da função e de um ponto inicial para começar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f1'(x) = 12raizx + e^-x . A derivada de é e a derivada de é . Portanto, a derivada de é:

Passo 3

Agora, escolhemos um palpite inicial . Olhando para a função , podemos observar que quando , , e para , . Como a função muda de negativa para positiva entre 0 e 1, sabemos que há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher .

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f1(xn)f1'(xn)
Vamos calcular f1(1) = raiz1 - e^-1 = 1 - 1e approx 0.63 :
f1'(1) = 12raiz1 + e^-1 = 12 + 1e approx 0.5 + 0.37 = 0.87
x1 = 1 - 0.630.87 approx 1 - 0.724 = 0.276

Passo 5

Verificamos a diferença entre |x1 - x0| = |0.276 - 1| = 0.724 > 1 cdot 10^-4 e :
Como ainda não atingimos a tolerância, repetimos o processo com .

Passo 6

Calculamos f1(0.276) = raiz0.276 - e^-0.276 approx 0.525 - 0.758 = -0.233 e f1'(0.276) = 12raiz0.276 + e^-0.276 approx 12 times 0.525 + 0.758 approx 0.952 + 0.758 = 1.71 :
x2 = 0.276 - -0.2331.71 approx 0.276 + 0.136 = 0.412

Passo 7

Verificamos a diferença entre |x2 - x1| = |0.412 - 0.276| = 0.136 > 1 cdot 10^-4 e :
Continuamos o processo com .

Passo 8

Calculamos f1(0.412) = raiz0.412 - e^-0.412 approx 0.642 - 0.662 = -0.020 e f1'(0.412) = 12raiz0.412 + e^-0.412 approx 12 times 0.642 + 0.662 approx 0.779 + 0.662 = 1.441 :
x3 = 0.412 - -0.0201.441 approx 0.412 + 0.014 = 0.426

Passo 9

Verificamos a diferença entre |x3 - x2| = |0.426 - 0.412| = 0.014 > 1 cdot 10^-4 e :
Seguimos com .

Passo 10

Calculamos f1(0.426) = raiz0.426 - e^-0.426 approx 0.653 - 0.653 = 0 e :
Como é praticamente zero, atingimos a tolerância desejada.

Resposta

A raiz da função x approx 0.426 usando o Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente:

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