Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as raízes da função usando o Método de Newton-Raphson com uma tolerância de . O Método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para aproximar raízes de funções, ou seja, encontrar valores de onde . Para isso, vamos precisar da derivada da função e de um ponto inicial para começar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada de é e a derivada de é . Portanto, a derivada de é:

Passo 3

Agora, escolhemos um palpite inicial . Olhando para a função , podemos observar que quando , , e para , . Como a função muda de negativa para positiva entre 0 e 1, sabemos que há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher .

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Vamos calcular :

Passo 5

Verificamos a diferença entre e :
Como ainda não atingimos a tolerância, repetimos o processo com .

Passo 6

Calculamos e :

Passo 7

Verificamos a diferença entre e :
Continuamos o processo com .

Passo 8

Calculamos e :

Passo 9

Verificamos a diferença entre e :
Seguimos com .

Passo 10

Calculamos e :
Como é praticamente zero, atingimos a tolerância desejada.

Resposta

A raiz da função usando o Método de Newton-Raphson com tolerância é aproximadamente:

Exercícios relacionados

As funções de iterações e geram sequências convergentes para a raiz para qualquer aproximação inicial . Qual das duas funções converge mais rápido para esta raiz? Justifique a resposta.
No cálculo das raízes de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
© Pelo método de Newton-Raphson, calcule as raízes de com erro menor que 0,0001 a partir dos respectivos valores iniciais obtidos no item (a).
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(e) .
No cálculo das raízes de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual função de iteração irá convergir para cada raiz. Justifique.