Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as raízes da função
usando o Método de Newton-Raphson com uma tolerância de
. O Método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para aproximar raízes de funções, ou seja, encontrar valores de
onde
. Para isso, vamos precisar da derivada da função e de um ponto inicial para começar as iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, escolhemos um palpite inicial
. Olhando para a função
, podemos observar que quando
,
, e para
,
. Como a função muda de negativa para positiva entre 0 e 1, sabemos que há uma raiz nesse intervalo. Vamos escolher
.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
Vamos calcular
:
Passo 5
Verificamos a diferença entre
e
:
Como ainda não atingimos a tolerância, repetimos o processo com
.
Passo 6
Calculamos
e
:
Passo 7
Verificamos a diferença entre
e
:
Continuamos o processo com
.
Passo 8
Calculamos
e
:
Passo 9
Verificamos a diferença entre
e
:
Seguimos com
.
Passo 10
Calculamos
e
:
Como
é praticamente zero, atingimos a tolerância desejada.
Resposta
A raiz da função
usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
é aproximadamente:
Exercícios relacionados
As funções de iterações
e
geram sequências convergentes para a raiz para qualquer aproximação inicial
. Qual das duas funções converge mais rápido para esta raiz? Justifique a resposta.
No cálculo das raízes de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
© Pelo método de Newton-Raphson, calcule as raízes de
com erro menor que 0,0001 a partir dos respectivos valores iniciais obtidos no item (a).
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(e) .
(e)
No cálculo das raízes de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
(b) Indique, sem iteragir, qual função de iteração irá convergir para cada raiz. Justifique.