As funções de iterações varphi1(x)=x^22-2 x+4 e varphi2(x)=x^22-2,5 x+5 geram sequências convergentes para a raiz para qualquer aproximação inicial x0 in(3 / 2,3). Qual das duas funções converge mais rápido para esta raiz? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos duas funções de iteração:
varphi1(x) = x^22 - 2x + 4
varphi2(x) = x^22 - 2,5x + 5
Essas funções, quando usadas para gerar sequências a partir de um valor inicial no intervalo , vão convergir para uma raiz comum. A gente precisa descobrir qual das duas funções faz essa convergência acontecer mais rápido. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre iteração de funções e a taxa de convergência, usando derivadas para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a raiz para a qual ambas as funções convergem. Isso significa que precisamos encontrar o valor de x^22 - 2x + 4 = x que satisfaz x^22 - 3x + 4 = 0 .
Vamos resolver para x^2 - 6x + 8 = 0 :
x = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm raiz42 = 6 pm 22
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando por 2 para facilitar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Como o intervalo inicial é , a raiz relevante é .

Passo 3

Agora que sabemos que a raiz é varphi1'(x) = 2x2 - 2 = x - 2 , vamos verificar a taxa de convergência de cada função usando a derivada. A ideia aqui é que quanto menor o valor absoluto da derivada da função no ponto fixo (nossa raiz), mais rápido a sequência converge para esse ponto.
Vamos calcular a derivada de cada função e avaliar em varphi1'(2) = 2 - 2 = 0 .
Para varphi2'(x) = 2x2 - 2,5 = x - 2,5 :
varphi2'(2) = 2 - 2,5 = -0,5
Avaliar em :
Para :
Avaliar em :

Passo 4

Agora, vamos interpretar esses resultados. A derivada de |varphi1'(2)| = |0| = 0 no ponto fixo é 0, e a derivada de |varphi2'(2)| = |-0,5| = 0,5 no mesmo ponto é -0,5.
Em métodos de iteração, se a derivada no ponto fixo tem valor absoluto menor, a convergência é mais rápida. No caso:
Como , isso indica que converge mais rápido para a raiz do que .

Resposta

A função converge mais rápido para a raiz do que a função .

Exercícios relacionados