As funções de iterações e geram sequências convergentes para a raiz para qualquer aproximação inicial . Qual das duas funções converge mais rápido para esta raiz? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos duas funções de iteração:
Essas funções, quando usadas para gerar sequências a partir de um valor inicial no intervalo , vão convergir para uma raiz comum. A gente precisa descobrir qual das duas funções faz essa convergência acontecer mais rápido. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre iteração de funções e a taxa de convergência, usando derivadas para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a raiz para a qual ambas as funções convergem. Isso significa que precisamos encontrar o valor de que satisfaz .
Vamos resolver para :
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando por 2 para facilitar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Como o intervalo inicial é , a raiz relevante é .

Passo 3

Agora que sabemos que a raiz é , vamos verificar a taxa de convergência de cada função usando a derivada. A ideia aqui é que quanto menor o valor absoluto da derivada da função no ponto fixo (nossa raiz), mais rápido a sequência converge para esse ponto.
Vamos calcular a derivada de cada função e avaliar em .
Para :
Avaliar em :
Para :
Avaliar em :

Passo 4

Agora, vamos interpretar esses resultados. A derivada de no ponto fixo é 0, e a derivada de no mesmo ponto é -0,5.
Em métodos de iteração, se a derivada no ponto fixo tem valor absoluto menor, a convergência é mais rápida. No caso:
Como , isso indica que converge mais rápido para a raiz do que .

Resposta

A função converge mais rápido para a raiz do que a função .

Exercícios relacionados

No cálculo das raízes de , pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
© Pelo método de Newton-Raphson, calcule as raízes de com erro menor que 0,0001 a partir dos respectivos valores iniciais obtidos no item (a).
Considere o polinômio Quais zeros não podem ser determinadas usando o método da bisseção? Justifique a sua resposta.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(a) .
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância .
(e) .