As funções de iterações
e
geram sequências convergentes para a raiz para qualquer aproximação inicial
. Qual das duas funções converge mais rápido para esta raiz? Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos duas funções de iteração:
Essas funções, quando usadas para gerar sequências a partir de um valor inicial
no intervalo
, vão convergir para uma raiz comum. A gente precisa descobrir qual das duas funções faz essa convergência acontecer mais rápido. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre iteração de funções e a taxa de convergência, usando derivadas para comparar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a raiz para a qual ambas as funções convergem. Isso significa que precisamos encontrar o valor de
que satisfaz
.
Vamos resolver para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por 2 para facilitar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Como o intervalo inicial é
, a raiz relevante é
.
Passo 3
Agora que sabemos que a raiz é
, vamos verificar a taxa de convergência de cada função usando a derivada. A ideia aqui é que quanto menor o valor absoluto da derivada da função no ponto fixo (nossa raiz), mais rápido a sequência converge para esse ponto.
Vamos calcular a derivada de cada função e avaliar em
.
Para
:
Avaliar em
:
Para
:
Avaliar em
:
Passo 4
Agora, vamos interpretar esses resultados. A derivada de
no ponto fixo é 0, e a derivada de
no mesmo ponto é -0,5.
Em métodos de iteração, se a derivada no ponto fixo tem valor absoluto menor, a convergência é mais rápida. No caso:
Como
, isso indica que
converge mais rápido para a raiz
do que
.
Resposta
A função
converge mais rápido para a raiz
do que a função
.
Exercícios relacionados
No cálculo das raízes de
, pelo método do ponto fixo (ou iteração linear), fazem-se as transformações para as seguintes funções de iteração:
© Pelo método de Newton-Raphson, calcule as raízes de
com erro menor que 0,0001 a partir dos respectivos valores iniciais obtidos no item (a).
Considere o polinômio
Quais zeros não podem ser determinadas usando o método da bisseção? Justifique a sua resposta.
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(a) .
(a)
Determine as raízes das funções a seguir usando o Método de Newton-Raphson com tolerância
.
(e) .
(e)