Determine um intervalo para iniciar o cálculo de usando o método da bisseção. Explique. Quantas iterações são necessárias para obter com erro menor ou igual a ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar um intervalo para começar a calcular usando o método da bisseção. Além disso, temos que descobrir quantas vezes a gente precisa dividir esse intervalo para chegar perto de com um erro menor ou igual a . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método da bisseção e entender um pouco sobre a função logarítmica natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que fazem a função igual a zero. Para isso, a gente precisa de um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, . Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar . Sabemos que é o inverso da função exponencial, então podemos reescrever como a solução da equação . Assim, vamos definir a função . Queremos encontrar o valor de que faz .
Passo 4
Agora, precisamos escolher dois pontos e de forma que e tenham sinais opostos. Vamos começar testando alguns valores:
Para :
Aqui, é negativo.
Para :
Aqui, é positivo.
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz no intervalo .
Passo 5
Agora que temos o intervalo , vamos calcular quantas iterações são necessárias para que o erro seja menor ou igual a . A fórmula para o número máximo de iterações no método da bisseção é:
Onde:
é o tamanho inicial do intervalo.
é a precisão desejada.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Então, precisamos de 10 iterações.
Resposta
O intervalo inicial é e são necessárias 10 iterações para calcular com um erro menor ou igual a .