Determine um intervalo [a, b] para iniciar o cálculo de ln (10) usando o método da bisseção. Explique. Quantas iterações são necessárias para obter ln (10) com erro menor ou igual a 10^-3 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar um intervalo para começar a calcular usando o método da bisseção. Além disso, temos que descobrir quantas vezes a gente precisa dividir esse intervalo para chegar perto de com um erro menor ou igual a . Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método da bisseção e entender um pouco sobre a função logarítmica natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de que fazem a função igual a zero. Para isso, a gente precisa de um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, . Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar . Sabemos que é o inverso da função exponencial, então podemos reescrever como a solução da equação . Assim, vamos definir a função . Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 4

Agora, precisamos escolher dois pontos f(2) = e^2 - 10 approx 7.389 - 10 = -2.611 e f(3) = e^3 - 10 approx 20.085 - 10 = 10.085 de forma que e tenham sinais opostos. Vamos começar testando alguns valores:
  • Para :
    Aqui, é negativo.
  • Para :
    Aqui, é positivo.
Como é negativo e é positivo, sabemos que há uma raiz no intervalo .

Passo 5

Agora que temos o intervalo n >= log2(b - aepsilon) , vamos calcular quantas iterações são necessárias para que o erro seja menor ou igual a . A fórmula para o número máximo de iterações no método da bisseção é:
Onde:
  • é o tamanho inicial do intervalo.
  • é a precisão desejada.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
n >= log2(3 - 210^-3) = log2(1000) approx 9.966
Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Então, precisamos de 10 iterações.

Resposta

O intervalo inicial é e são necessárias 10 iterações para calcular com um erro menor ou igual a .

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