Determine um intervalo
para iniciar o cálculo de
usando o método da bisseção. Explique. Quantas iterações são necessárias para obter
com erro menor ou igual a
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar um intervalo
para começar a calcular
usando o método da bisseção. Além disso, temos que descobrir quantas vezes a gente precisa dividir esse intervalo para chegar perto de
com um erro menor ou igual a
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o método da bisseção e entender um pouco sobre a função logarítmica natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método da bisseção. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função, ou seja, valores de
que fazem a função igual a zero. Para isso, a gente precisa de um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
. Isso garante que tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar
. Sabemos que
é o inverso da função exponencial, então podemos reescrever
como a solução da equação
. Assim, vamos definir a função
. Queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 4
Agora, precisamos escolher dois pontos
e
de forma que
e
tenham sinais opostos. Vamos começar testando alguns valores:
-
Para
: Aqui,é negativo. -
Para
: Aqui,é positivo.
Como
é negativo e
é positivo, sabemos que há uma raiz no intervalo
.
Passo 5
Agora que temos o intervalo
, vamos calcular quantas iterações são necessárias para que o erro seja menor ou igual a
. A fórmula para o número máximo de iterações
no método da bisseção é:
Onde:
-
é o tamanho inicial do intervalo. -
é a precisão desejada.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Então, precisamos de 10 iterações.
Resposta
O intervalo inicial é
e são necessárias 10 iterações para calcular
com um erro menor ou igual a
.