Considere o polinômio Quais zeros não podem ser determinadas usando o método da bisseção? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um polinômio específico, . A gente precisa descobrir quais desses “zeros” (ou raízes) não dá pra encontrar usando o método da bisseção. Para isso, vamos lembrar um pouquinho sobre o que é o método da bisseção e como ele funciona na prática.
Passo 2
Primeiro, o método da bisseção é uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. Basicamente, a gente escolhe um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa). A ideia é que, se a função muda de sinal em um intervalo, tem pelo menos uma raiz ali. Então, a gente vai dividindo esse intervalo ao meio repetidamente até achar o valor da raiz com a precisão que a gente quer.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o polinômio dado: . Esse polinômio tem três zeros:
(com multiplicidade 2)
(com multiplicidade 3)
A multiplicidade de uma raiz diz quantas vezes esse número aparece como solução da equação .
Passo 4
Para o método da bisseção funcionar, precisamos que a função mude de sinal no intervalo onde estamos procurando a raiz. Isso acontece quando a raiz tem multiplicidade ímpar, porque nesse caso a função passa de positivo para negativo (ou vice-versa) passando pelo zero.
Se a raiz tem multiplicidade par, a função toca o eixo x, mas não muda de sinal. Isso significa que a função não atravessa o eixo x nesse ponto, então o método da bisseção não consegue identificar a raiz nesse caso.
Passo 5
Vamos analisar cada raiz do polinômio:
: multiplicidade 1 (ímpar). A função muda de sinal aqui, então o método da bisseção consegue encontrar essa raiz.
: multiplicidade 2 (par). A função toca o eixo x e não muda de sinal, então o método da bisseção não consegue encontrar essa raiz.
: multiplicidade 3 (ímpar). A função muda de sinal novamente, então o método da bisseção consegue encontrar essa raiz.
Resposta
O zero em não pode ser determinado usando o método da bisseção, já que ele tem multiplicidade par e a função não muda de sinal nesse ponto.