Considere o polinômio Quais zeros não podem ser determinadas usando o método da bisseção? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um polinômio específico, . A gente precisa descobrir quais desses “zeros” (ou raízes) não dá pra encontrar usando o método da bisseção. Para isso, vamos lembrar um pouquinho sobre o que é o método da bisseção e como ele funciona na prática.

Passo 2

Primeiro, o método da bisseção é uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. Basicamente, a gente escolhe um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa). A ideia é que, se a função muda de sinal em um intervalo, tem pelo menos uma raiz ali. Então, a gente vai dividindo esse intervalo ao meio repetidamente até achar o valor da raiz com a precisão que a gente quer.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o polinômio dado: . Esse polinômio tem três zeros:
  1. (com multiplicidade 2)
  2. (com multiplicidade 3)
A multiplicidade de uma raiz diz quantas vezes esse número aparece como solução da equação .

Passo 4

Para o método da bisseção funcionar, precisamos que a função mude de sinal no intervalo onde estamos procurando a raiz. Isso acontece quando a raiz tem multiplicidade ímpar, porque nesse caso a função passa de positivo para negativo (ou vice-versa) passando pelo zero.
Se a raiz tem multiplicidade par, a função toca o eixo x, mas não muda de sinal. Isso significa que a função não atravessa o eixo x nesse ponto, então o método da bisseção não consegue identificar a raiz nesse caso.

Passo 5

Vamos analisar cada raiz do polinômio:
  • : multiplicidade 1 (ímpar). A função muda de sinal aqui, então o método da bisseção consegue encontrar essa raiz.
  • : multiplicidade 2 (par). A função toca o eixo x e não muda de sinal, então o método da bisseção não consegue encontrar essa raiz.
  • : multiplicidade 3 (ímpar). A função muda de sinal novamente, então o método da bisseção consegue encontrar essa raiz.

Resposta

O zero em não pode ser determinado usando o método da bisseção, já que ele tem multiplicidade par e a função não muda de sinal nesse ponto.

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