Muitos campos da engenharia necessitam de estimativas acu-
radas da população. Por exemplo, os engenheiros de transporte poâem achar necessário determinar separadamente a tendência de crescimento da população de uma cidade e do subúrbio adjacente. A população da área urbana está diminuindo com o tempo de acordo com
enquanto a população suburbana está crescendo de acordo com
onde c são parâmetros determinados empiricamente. Determine o tempo e os valores correspondentes de e quando os subúrbios forem maiores que a cidade. Os valores dos parâmetros são ano, pessoas, pessoas, pessoas, ano.
Empregue o método de Newton, estimando a derivada através da regra do ponto médio (nesta questão, basta que você realize duas iterações - isto é, dado o valor de , obtenha ). Você deve escolher o seu valor de ! (Obs.: regra do ponto médio - .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o tempo e os valores correspondentes de e quando a população suburbana for 20% maior que a população urbana. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar entender as funções que descrevem a população urbana e suburbana ao longo do tempo, aplicar o Método de Newton e fazer algumas iterações para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que descrevem as populações urbana e suburbana:
Para a população urbana:
Para a população suburbana:
Queremos encontrar o tempo onde . Isso significa que a população suburbana é 20% maior que a urbana.
Passo 3
Vamos definir uma função que representa a diferença entre a população suburbana e 1,2 vezes a população urbana:
Queremos encontrar o valor de que faz .
Passo 4
Agora, aplicamos o Método de Newton para encontrar a raiz da função . A fórmula do Método de Newton é:
Onde é a derivada de em . Como a derivada não está fornecida, vamos estimá-la usando a regra do ponto médio.
Passo 5
A regra do ponto médio para estimar a derivada é:
Escolheremos um valor pequeno para , por exemplo, .
Passo 6
Vamos escolher um valor inicial . Vamos supor que anos. Agora, vamos calcular e .
Passo 7
Calculando :
Passo 8
Estimando usando a regra do ponto médio:
Vamos calcular e :
Para :
Para :
Agora, calculamos :
Passo 9
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Esse resultado parece muito alto, o que indica que nossa escolha inicial pode não ser a melhor. Vamos escolher um menor, por exemplo, .
Passo 10
Repetimos os cálculos com :
Calculando :
Estimando :
Calculando e :
Para :
Para :
Então,
Passo 11
Aplicando o Método de Newton com :
Ainda parece alto. Vamos tentar com anos.
Passo 12
Calculando :
Estimando :
Calculando e :
Para :
Para :
Então,
Passo 13
Aplicando o Método de Newton com :
Ainda estamos longe. Parece que as populações não se cruzam nesse modelo nos primeiros anos. Podemos concluir que, com os parâmetros fornecidos, a população suburbana nunca chega a ser 20% maior que a urbana dentro de um período razoável de tempo.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton com as iterações realizadas, concluímos que, com os parâmetros fornecidos, a população suburbana não atinge 20% a mais que a população urbana dentro de um período de tempo razoável. Portanto, não existe um tempo onde sob as condições dadas.