Muitos campos da engenharia necessitam de estimativas acu-
radas da população. Por exemplo, os engenheiros de transporte poâem achar necessário determinar separadamente a tendência de crescimento da população de uma cidade e do subúrbio adjacente. A população da área urbana está diminuindo com o tempo de acordo com
enquanto a população suburbana está crescendo de acordo com
onde
c
são parâmetros determinados empiricamente. Determine o tempo e os valores correspondentes de
e
quando os subúrbios forem
maiores que a cidade. Os valores dos parâmetros são
ano,
pessoas,
pessoas,
pessoas,
ano.
Empregue o método de Newton, estimando a derivada através da regra do ponto médio (nesta questão, basta que você realize duas iterações - isto é, dado o valor de
, obtenha
). Você deve escolher o seu valor de
! (Obs.: regra do ponto médio
-
.
radas da população. Por exemplo, os engenheiros de transporte poâem achar necessário determinar separadamente a tendência de crescimento da população de uma cidade e do subúrbio adjacente. A população da área urbana está diminuindo com o tempo de acordo com
Empregue o método de Newton, estimando a derivada através da regra do ponto médio (nesta questão, basta que você realize duas iterações - isto é, dado o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o tempo
e os valores correspondentes de
e
quando a população suburbana for 20% maior que a população urbana. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar entender as funções que descrevem a população urbana e suburbana ao longo do tempo, aplicar o Método de Newton e fazer algumas iterações para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que descrevem as populações urbana e suburbana:
Para a população urbana:
Para a população suburbana:
Queremos encontrar o tempo
onde
. Isso significa que a população suburbana é 20% maior que a urbana.
Passo 3
Vamos definir uma função que representa a diferença entre a população suburbana e 1,2 vezes a população urbana:
Queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Método de Newton para encontrar a raiz da função
. A fórmula do Método de Newton é:
Onde
é a derivada de
em
. Como a derivada não está fornecida, vamos estimá-la usando a regra do ponto médio.
Passo 5
A regra do ponto médio para estimar a derivada é:
Escolheremos um valor pequeno para
, por exemplo,
.
Passo 6
Vamos escolher um valor inicial
. Vamos supor que
anos. Agora, vamos calcular
e
.
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Estimando
usando a regra do ponto médio:
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Agora, calculamos
:
Passo 9
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Esse resultado parece muito alto, o que indica que nossa escolha inicial
pode não ser a melhor. Vamos escolher um
menor, por exemplo,
.
Passo 10
Repetimos os cálculos com
:
Calculando
:
Estimando
:
Calculando e
:
Calculando
Para
:
Para
:
Então,
Passo 11
Aplicando o Método de Newton com
:
Ainda parece alto. Vamos tentar com
anos.
Passo 12
Calculando
:
Estimando
:
Calculando e
:
Calculando
Para
:
Para
:
Então,
Passo 13
Aplicando o Método de Newton com
:
Ainda estamos longe. Parece que as populações não se cruzam nesse modelo nos primeiros anos. Podemos concluir que, com os parâmetros fornecidos, a população suburbana nunca chega a ser 20% maior que a urbana dentro de um período razoável de tempo.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton com as iterações realizadas, concluímos que, com os parâmetros fornecidos, a população suburbana não atinge 20% a mais que a população urbana dentro de um período de tempo razoável. Portanto, não existe um tempo
onde
sob as condições dadas.