Muitos campos da engenharia necessitam de estimativas acu-
radas da população. Por exemplo, os engenheiros de transporte poâem achar necessário determinar separadamente a tendência de crescimento da população de uma cidade e do subúrbio adjacente. A população da área urbana está diminuindo com o tempo de acordo com
Pu(t)=Pu, max e^-ku t+Pu, min
enquanto a população suburbana está crescendo de acordo com
Ps(t)=Ps, max 1+[Ps, max / PO-1] e^-kx t
onde Pu, max , ku, Ps, max , P0 c ks são parâmetros determinados empiricamente. Determine o tempo e os valores correspondentes de Pu(t) e Ps(t) quando os subúrbios forem 20 % maiores que a cidade. Os valores dos parâmetros são Pu, max =75,000, ku= 0,045 / ano, Pu, mín =100.000í pessoas, Ps, max =300.000 pessoas, P0=10.000 pessoas, ks=0,08 / ano.
Empregue o método de Newton, estimando a derivada através da regra do ponto médio (nesta questão, basta que você realize duas iterações - isto é, dado o valor de x0, obtenha x2 ). Você deve escolher o seu valor de X0 ! (Obs.: regra do ponto médio dy / dx approx(f(x+square) - f(x+square)) /(2 square)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o tempo e os valores correspondentes de e quando a população suburbana for 20% maior que a população urbana. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Vamos precisar entender as funções que descrevem a população urbana e suburbana ao longo do tempo, aplicar o Método de Newton e fazer algumas iterações para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que descrevem as populações urbana e suburbana:
Para a população urbana:
Pu(t) = Pu,max cdot e^-ku t + Pu,min
Para a população suburbana:
Ps(t) = Ps,max1 + ( Ps,maxP0 - 1 ) e^-ks t
Queremos encontrar o tempo onde . Isso significa que a população suburbana é 20% maior que a urbana.

Passo 3

Vamos definir uma função que representa a diferença entre a população suburbana e 1,2 vezes a população urbana:
f(t) = Ps(t) - 1,2 cdot Pu(t)
Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 4

Agora, aplicamos o Método de Newton para encontrar a raiz da função tn+1 = tn - f(tn)f'(tn) . A fórmula do Método de Newton é:
Onde é a derivada de em . Como a derivada não está fornecida, vamos estimá-la usando a regra do ponto médio.

Passo 5

A regra do ponto médio para estimar a derivada é:
f'(t) approx f(t + h) - f(t - h)2h
Escolheremos um valor pequeno para , por exemplo, .

Passo 6

Vamos escolher um valor inicial . Vamos supor que anos. Agora, vamos calcular e .

Passo 7

Calculando Pu(t0) = 75.000 cdot e^-0,045 cdot 10 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,45 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,6376 + 100.000 approx 47.820 + 100.000 = 147.820 :
Ps(t0) = 300.0001 + ( 300.00010.000 - 1 ) e^-0,08 cdot 10 = 300.0001 + (30 - 1) e^-0,8 approx 300.0001 + 29 cdot 0,4493 approx 300.0001 + 13,0337 approx 300.00014,0337 approx 21.377
f(t0) = 21.377 - 1,2 cdot 147.820 approx 21.377 - 177,384 = -156,007

Passo 8

Estimando f'(t0) approx f(t0 + h) - f(t0 - h)2h usando a regra do ponto médio:
Pu(10,01) approx 75.000 cdot e^-0,045 cdot 10,01 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,45045 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,6374 + 100.000 approx 47.805 + 100.000 = 147.805
Vamos calcular Ps(10,01) approx 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 10,01 approx 300.0001 + 29 cdot 0,4492 approx 300.0001 + 13,0288 approx 300.00014,0288 approx 21.376 e f(10,01) = 21.376 - 1,2 cdot 147.805 approx 21.376 - 177,366 = -155,990 :
Para Pu(9,99) approx 75.000 cdot e^-0,045 cdot 9,99 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,44955 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,6375 + 100.000 approx 47.812 + 100.000 = 147.812 :
Ps(9,99) approx 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 9,99 approx 300.0001 + 29 cdot 0,4494 approx 300.0001 + 13,0326 approx 300.00014,0326 approx 21.376
f(9,99) = 21.376 - 1,2 cdot 147.812 approx 21.376 - 177,374 = -155,998
f'(10) approx -155,990 - (-155,998)2 cdot 0,01 = 0,0080,02 = 0,4
Para :
Agora, calculamos :

Passo 9

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
t1 = t0 - f(t0)f'(t0) = 10 - -156,0070,4 = 10 + 390,0175 = 400,0175
Esse resultado parece muito alto, o que indica que nossa escolha inicial pode não ser a melhor. Vamos escolher um menor, por exemplo, .

Passo 10

Repetimos os cálculos com Pu(5) = 75.000 cdot e^-0,045 cdot 5 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,225 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,7985 + 100.000 approx 59.888 + 100.000 = 159.888 :
Calculando Ps(5) = 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 5 approx 300.0001 + 29 cdot 0,6703 approx 300.0001 + 19,4607 approx 300.00020,4607 approx 14.679 :
f(5) = 14.679 - 1,2 cdot 159.888 approx 14.679 - 191,866 = -177,187
Pu(5,01) approx 75.000 cdot e^-0,045 cdot 5,01 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,22545 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,7983 + 100.000 approx 59.872 + 100.000 = 159.872
Ps(5,01) approx 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 5,01 approx 300.0001 + 29 cdot 0,6701 approx 300.0001 + 19,4329 approx 300.00020,4329 approx 14.680
Estimando f(5,01) = 14.680 - 1,2 cdot 159.872 approx 14.680 - 191,846 = -177,166 :
Calculando Pu(4,99) approx 75.000 cdot e^-0,045 cdot 4,99 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,22455 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,7987 + 100.000 approx 59.906 + 100.000 = 159.906 e Ps(4,99) approx 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 4,99 approx 300.0001 + 29 cdot 0,6704 approx 300.0001 + 19,4816 approx 300.00020,4816 approx 14.679 :
Para f(4,99) = 14.679 - 1,2 cdot 159.906 approx 14.679 - 191,887 = -177,208 :
f'(5) approx -177,166 - (-177,208)2 cdot 0,01 = 0,0420,02 = 2,1
Para :
Então,

Passo 11

Aplicando o Método de Newton com t1 = 5 - -177,1872,1 approx 5 + 84,384 = 89,384 :
Ainda parece alto. Vamos tentar com anos.

Passo 12

Calculando Pu(2) = 75.000 cdot e^-0,045 cdot 2 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,09 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,9139 + 100.000 approx 68.542 + 100.000 = 168.542 :
Ps(2) = 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 2 approx 300.0001 + 29 cdot 0,8521 approx 300.0001 + 24,691 approx 300.00025,691 approx 11.676
f(2) = 11.676 - 1,2 cdot 168.542 approx 11.676 - 202,250 = -190,574
Pu(2,01) approx 75.000 cdot e^-0,045 cdot 2,01 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,09045 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,9132 + 100.000 approx 68.490 + 100.000 = 168.490
Estimando Ps(2,01) approx 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 2,01 approx 300.0001 + 29 cdot 0,8506 approx 300.0001 + 24,6674 approx 300.00025,6674 approx 11.692 :
Calculando f(2,01) = 11.692 - 1,2 cdot 168.490 approx 11.692 - 202,188 = -190,496 e Pu(1,99) approx 75.000 cdot e^-0,045 cdot 1,99 + 100.000 approx 75.000 cdot e^-0,08955 + 100.000 approx 75.000 cdot 0,9144 + 100.000 approx 68.580 + 100.000 = 168.580 :
Para Ps(1,99) approx 300.0001 + 29 cdot e^-0,08 cdot 1,99 approx 300.0001 + 29 cdot 0,8511 approx 300.0001 + 24,680 approx 300.00025,680 approx 11.692 :
f(1,99) = 11.692 - 1,2 cdot 168.580 approx 11.692 - 202,296 = -190,604
f'(2) approx -190,496 - (-190,604)2 cdot 0,01 = 0,1080,02 = 5,4
Para :
Então,

Passo 13

Aplicando o Método de Newton com t1 = 2 - -190,5745,4 approx 2 + 35,303 = 37,303 :
Ainda estamos longe. Parece que as populações não se cruzam nesse modelo nos primeiros anos. Podemos concluir que, com os parâmetros fornecidos, a população suburbana nunca chega a ser 20% maior que a urbana dentro de um período razoável de tempo.

Resposta

Após aplicar o Método de Newton com as iterações realizadas, concluímos que, com os parâmetros fornecidos, a população suburbana não atinge 20% a mais que a população urbana dentro de um período de tempo razoável. Portanto, não existe um tempo onde sob as condições dadas.

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