Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração de Cholesky:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e identificar o que precisamos.
Enunciado resumido: Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . Queremos encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Conteúdo da matéria: Fatoração de Cholesky, que é uma técnica usada para resolver sistemas lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida.
O que vamos precisar:
Identificar a matriz dos coeficientes do sistema.
Garantir que a matriz seja simétrica e positiva definida.
Aplicar a fatoração de Cholesky para decompor a matriz.
Resolver o sistema de equações decompondo em duas etapas: primeiro resolvendo e depois .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes A = 3 & 2 & 1 2 & 4 & 2 1 & 2 & 3 , b = 4 3 0 e o vetor dos termos constantes A^T = 3 & 2 & 1 2 & 4 & 2 1 & 2 & 3 = A do sistema:
A fatoração de Cholesky só pode ser aplicada se a matriz det(A) = 3(4 cdot 3 - 2 cdot 2) - 2(2 cdot 3 - 2 cdot 1) + 1(2 cdot 2 - 4 cdot 1) = 3(12 - 4) - 2(6 - 2) + 1(4 - 4) = 3(8) - 2(4) + 0 = 24 - 8 = 16 > 0 for simétrica e positiva definida. Vamos verificar isso.
Simetria: Uma matriz é simétrica se , ou seja, se ela for igual à sua transposta.
Então, é simétrica.
Positiva definida: Uma matriz simétrica é positiva definida se todos os seus autovalores são positivos. Para simplificar, podemos verificar se todos os determinantes principais são positivos.
Determinante de :
Determinante de :
Determinante de :
Todos os determinantes principais são positivos, então é positiva definida.
Passo 3
Agora que sabemos que podemos aplicar a fatoração de Cholesky, vamos decompor a matriz A = LL^T em L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 , onde 3 & 2 & 1 2 & 4 & 2 1 & 2 & 3 = l11^2 & l11l21 & l11l31 l11l21 & l21^2 + l22^2 & l21l31 + l22l32 l11l31 & l21l31 + l22l32 & l31^2 + l32^2 + l33^2 é uma matriz triangular inferior e l11^2 = 3 Rightarrow l11 = raiz3 é sua transposta.