Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração de Cholesky:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e identificar o que precisamos.
Enunciado resumido: Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . Queremos encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Conteúdo da matéria: Fatoração de Cholesky, que é uma técnica usada para resolver sistemas lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida.
O que vamos precisar:
  • Identificar a matriz dos coeficientes do sistema.
  • Garantir que a matriz seja simétrica e positiva definida.
  • Aplicar a fatoração de Cholesky para decompor a matriz.
  • Resolver o sistema de equações decompondo em duas etapas: primeiro resolvendo e depois .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes do sistema:
A fatoração de Cholesky só pode ser aplicada se a matriz for simétrica e positiva definida. Vamos verificar isso.
Simetria: Uma matriz é simétrica se , ou seja, se ela for igual à sua transposta.
Então, é simétrica.
Positiva definida: Uma matriz simétrica é positiva definida se todos os seus autovalores são positivos. Para simplificar, podemos verificar se todos os determinantes principais são positivos.
  • Determinante de :
  • Determinante de :
  • Determinante de :
Todos os determinantes principais são positivos, então é positiva definida.

Passo 3

Agora que sabemos que podemos aplicar a fatoração de Cholesky, vamos decompor a matriz em , onde é uma matriz triangular inferior e é sua transposta.
A fatoração de Cholesky nos diz que:
Vamos encontrar passo a passo.
Estrutura de :
Igualando , temos:
Vamos resolver para cada elemento de .
Encontrando :
Encontrando :
Encontrando :
Encontrando :
Encontrando :
Isolando :
Encontrando :
Então, a matriz fica:

Passo 4

Com a fatoração de Cholesky pronta, agora vamos resolver o sistema substituindo por :
Vamos fazer isso em duas etapas:
  1. Resolver para .
  2. Resolver para .
Primeira etapa: Resolver

[


]
Começamos resolvendo de cima para baixo.
Equação 1:
Equação 2:
Substituindo :
Isolando :
Equação 3:
Substituindo e :
Calculando as frações:
Então:
Resumo dos valores de :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda etapa: . Lembre-se que é a transposta da matriz :
Então, temos:

[


]
Vamos resolver de baixo para cima, já que é uma matriz triangular superior.
Equação 3:
Equação 2:
Substituindo :
Isolando :
Então:
Equação 1:
Substituindo e :
Simplificando:
Isolando :

Resposta

A solução do sistema é:

[
x =


]

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