Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração de Cholesky:
l 3 x1+2 x2+x3=4 2 x1+4 x2+2 x3=3 x1+2 x2+3 x3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo e identificar o que precisamos.
Enunciado resumido: Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . Queremos encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Conteúdo da matéria: Fatoração de Cholesky, que é uma técnica usada para resolver sistemas lineares quando a matriz dos coeficientes é simétrica e positiva definida.
O que vamos precisar:
  • Identificar a matriz dos coeficientes do sistema.
  • Garantir que a matriz seja simétrica e positiva definida.
  • Aplicar a fatoração de Cholesky para decompor a matriz.
  • Resolver o sistema de equações decompondo em duas etapas: primeiro resolvendo e depois .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes A = 3 & 2 & 1 2 & 4 & 2 1 & 2 & 3 , b = 4 3 0 e o vetor dos termos constantes A^T = 3 & 2 & 1 2 & 4 & 2 1 & 2 & 3 = A do sistema:
det(A2) = 3 & 2 2 & 4 = (3)(4) - (2)(2) = 12 - 4 = 8 > 0
A fatoração de Cholesky só pode ser aplicada se a matriz det(A) = 3(4 cdot 3 - 2 cdot 2) - 2(2 cdot 3 - 2 cdot 1) + 1(2 cdot 2 - 4 cdot 1) = 3(12 - 4) - 2(6 - 2) + 1(4 - 4) = 3(8) - 2(4) + 0 = 24 - 8 = 16 > 0 for simétrica e positiva definida. Vamos verificar isso.
Simetria: Uma matriz é simétrica se , ou seja, se ela for igual à sua transposta.
Então, é simétrica.
Positiva definida: Uma matriz simétrica é positiva definida se todos os seus autovalores são positivos. Para simplificar, podemos verificar se todos os determinantes principais são positivos.
  • Determinante de :
  • Determinante de :
  • Determinante de :
Todos os determinantes principais são positivos, então é positiva definida.

Passo 3

Agora que sabemos que podemos aplicar a fatoração de Cholesky, vamos decompor a matriz A = LL^T em L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 , onde 3 & 2 & 1 2 & 4 & 2 1 & 2 & 3 = l11^2 & l11l21 & l11l31 l11l21 & l21^2 + l22^2 & l21l31 + l22l32 l11l31 & l21l31 + l22l32 & l31^2 + l32^2 + l33^2 é uma matriz triangular inferior e l11^2 = 3 Rightarrow l11 = raiz3 é sua transposta.
A fatoração de Cholesky nos diz que:
l11l21 = 2 Rightarrow l21 = 2raiz3
Vamos encontrar l11l31 = 1 Rightarrow l31 = 1raiz3 passo a passo.
Estrutura de l21^2 + l22^2 = 4 Rightarrow (2raiz3)^2 + l22^2 = 4 Rightarrow 43 + l22^2 = 4 Rightarrow l22^2 = 83 Rightarrow l22 = raiz83 = 2raiz63 :
l21l31 + l22l32 = 2 Rightarrow (2raiz3)(1raiz3) + 2raiz63l32 = 2 Rightarrow 23 + 2raiz63l32 = 2
Igualando 2raiz63l32 = 2 - 23 = 43 Rightarrow l32 = 432raiz63 = 42raiz6 = 2raiz6 = raiz63 , temos:
l31^2 + l32^2 + l33^2 = 3 Rightarrow (1raiz3)^2 + (raiz63)^2 + l33^2 = 3 Rightarrow 13 + 69 + l33^2 = 3 Rightarrow 13 + 23 + l33^2 = 3 Rightarrow 1 + l33^2 = 3 Rightarrow l33^2 = 2 Rightarrow l33 = raiz2
Vamos resolver para cada elemento de L = raiz3 & 0 & 0 2raiz3 & 2raiz63 & 0 1raiz3 & raiz63 & raiz2 .
Encontrando :
Encontrando :
Encontrando :
Encontrando :
Encontrando :
Isolando :
Encontrando :
Então, a matriz fica:

Passo 4

Com a fatoração de Cholesky LL^T x = b pronta, agora vamos resolver o sistema raiz3 & 0 & 0 2raiz3 & 2raiz63 & 0 1raiz3 & raiz63 & raiz2 y1 y2 y3 = 4 3 0 substituindo raiz3 cdot y1 = 4 Rightarrow y1 = 4raiz3 por 2raiz3 cdot y1 + 2raiz63 cdot y2 = 3 :
2raiz3 cdot 4raiz3 + 2raiz63 cdot y2 = 3 Rightarrow 83 + 2raiz63 y2 = 3
Vamos fazer isso em duas etapas:
  1. Resolver 2raiz63 y2 = 3 - 83 = 13 Rightarrow y2 = 132raiz63 = 12raiz6 = raiz612 para 1raiz3 cdot y1 + raiz63 cdot y2 + raiz2 cdot y3 = 0 .
  2. Resolver 1raiz3 cdot 4raiz3 + raiz63 cdot raiz612 + raiz2 cdot y3 = 0 Rightarrow 43 + 636 + raiz2 y3 = 0 Rightarrow 43 + 16 + raiz2 y3 = 0 para 43 + 16 = 86 + 16 = 96 = 32 .
Primeira etapa: Resolver 32 + raiz2 y3 = 0 Rightarrow raiz2 y3 = -32 Rightarrow y3 = -32raiz2 = -3raiz24

[
y = 4raiz3 raiz612 -3raiz24


]
Começamos resolvendo de cima para baixo.
Equação 1:
Equação 2:
Substituindo :
Isolando :
Equação 3:
Substituindo e :
Calculando as frações:
Então:
Resumo dos valores de :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda etapa: L^T = raiz3 & 2raiz3 & 1raiz3 0 & 2raiz63 & raiz63 0 & 0 & raiz2 . Lembre-se que raiz3 & 2raiz3 & 1raiz3 0 & 2raiz63 & raiz63 0 & 0 & raiz2 x1 x2 x3 = 4raiz3 raiz612 -3raiz24 é a transposta da matriz raiz2 cdot x3 = -3raiz24 Rightarrow x3 = -3raiz24 cdot raiz2 = -34 :
2raiz63 cdot x2 + raiz63 cdot x3 = raiz612
Então, temos:

[
2raiz63 x2 + raiz63 (-34) = raiz612 Rightarrow 2raiz63 x2 - raiz64 = raiz612
2raiz63 x2 = raiz612 + raiz64 = raiz6 + 3raiz612 = 4raiz612 = raiz63

x2 = raiz632raiz63 = 12
]
Vamos resolver de baixo para cima, já que raiz3 cdot x1 + 2raiz3 cdot x2 + 1raiz3 cdot x3 = 4raiz3 é uma matriz triangular superior.
Equação 3:
raiz3 x1 + 2raiz3 cdot 12 + 1raiz3 cdot (-34) = 4raiz3
Equação 2:
raiz3 x1 + 1raiz3 - 34raiz3 = 4raiz3
Substituindo raiz3 x1 + 1 cdot 4 - 34raiz3 = 4raiz3 Rightarrow raiz3 x1 + 14raiz3 = 4raiz3 :
raiz3 x1 = 4raiz3 - 14raiz3 = 16 - 14raiz3 = 154raiz3 Rightarrow x1 = 154raiz3 cdot 1raiz3 = 1512 = 54
Isolando :
Então:
Equação 1:
Substituindo e :
Simplificando:
Isolando :

Resposta

A solução do sistema é:

[
x = x = x1 x2 x3 = 54 12 -34


]

Exercícios relacionados