A capacidade calorífica molar, a pressão constante, de uma amostra de um gás ideal varia com a temperatura de acordo com a expressão . Calcule q, w, e , quando a temperatura é elevada de a (i) a pressão constante e (ii) a volume constante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a capacidade calorífica molar a pressão constante ( ) de um gás ideal que varia com a temperatura. Precisamos calcular o calor transferido ( ), o trabalho realizado ( ), a variação da energia interna ( ) e a variação da entalpia ( ) quando a temperatura do gás aumenta de para em dois cenários: (i) à pressão constante e (ii) ao volume constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada para :
Aqui, depende da temperatura . Isso significa que a capacidade calorífica não é constante, mas varia conforme a temperatura muda.

Passo 3

Vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, pois a fórmula está em Kelvin. Sabemos que:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular nas temperaturas inicial e final:
Para :
Para :

Passo 5

Como varia com a temperatura, para calcular o calor ( ) e a variação da entalpia ( ), precisamos integrar em relação à temperatura:
Calculando a integral:
Vamos substituir os valores:
Calculando passo a passo:

Passo 6

Para a variação da energia interna ( ), usamos a relação para gases ideais:
No caso de pressão constante, o trabalho realizado pelo sistema é:
Como , a variação de volume pode ser calculada:
Assumindo que e usando :
Então:

Passo 7

Agora, para o caso de volume constante, não há trabalho realizado ( ). Portanto, a variação da energia interna é igual ao calor fornecido:
Como :
Integrando para encontrar :
Substituindo os valores:
Como , o calor .

Resposta

(i) Pressão constante:
(ii) Volume constante:

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