No caso de convergência, calcule o valor da soma da série. sumn=1^infty 3^2 n cdot 2^1-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a soma da série infinita sumn=1^infty 3^2n cdot 2^1-n. Isso envolve conceitos de séries geométricas, que a gente usa pra somar termos que seguem uma razão constante entre eles. Então, vamos precisar entender como identificar essa razão e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o entendimento. A série é:
sumn=1^infty 3^2n cdot 2^1-n
Vamos reescrever 3^2n como (3^2)^n = 9^n e 2^1-n como 2 cdot 2^-n. Então, temos:
sumn=1^infty 9^n cdot 2 cdot 2^-n = 2 sumn=1^infty (92)^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=1^infty ar^n-1
Onde:
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão entre os termos.
No nosso caso, a série está na forma:
2 sumn=1^infty (92)^n
Aqui, a razão r é 92. Para que uma série geométrica convirja, a razão r precisa satisfazer |r| < 1. No entanto, 92 = 4,5, que é maior que 1, indicando que a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^2n cdot 2^1-n não converge, pois a razão da série geométrica é maior que 1.

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